অনুপাত কাকে বলে, বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত কাকে বলে, সমানুপাত কাকে বলে, অনুপাতের রূপান্তর কাকে বলে, দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে A মিটার এবং B মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

প্রশ্ন সমাধান: অনুপাত কাকে বলে, বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত কাকে বলে, সমানুপাত কাকে বলে, অনুপাতের রূপান্তর কাকে বলে, দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

◈ অনুপাত

একই এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।

ব্যাখ্যা : দুইটি রাশি p ও q এর অনুপাতকে p : q = p/q লেখা হয়। p ও q রাশি দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে হতে হবে। অনুপাতে p কে পূর্ব রাশি এবং q কে উত্তর রাশি বলা হয়।

◈ সমানুপাত

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, d এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি, a : b = c : d

ক্রমিক সমানুপাতী

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় a : b = b : c

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি b² = ac হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি এক জাতীয় হতে হবে।

◈ অনুপাতের রূপান্তর

এখানে অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক সংখ্যা।

(1) a : b = c : d হলে, b : a = d : c [ব্যস্তকরণ (invertendo)]

(2) a : b = c : d হলে, a : c = b : d [একান্তকরণ (alternendo)]

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান : ১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ ১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² বর্গমিটার

এবং ২য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার

∴ ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b² বর্গমিটার

∴ ১ম ও ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = a²/b² = a² : b²

∴ তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = a² : b² (Ans.)

আরো ও সাজেশন:-

প্রশ্নঃ 2 : একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরি, বৃত্তক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = r মিটার

∴ বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 𝜋r² বর্গমিটার

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2𝜋r মিটার

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 𝜋r² বর্গ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = √𝜋r² মিটার = √𝜋r মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 √𝜋r মিটার

বৃত্তক্ষেত্রের ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অনুপাত

= 2 𝜋 r/4 √𝜋 r = √𝜋/2 = √𝜋 : 2 (Ans.)

প্রশ্নঃ 3 : দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল. সা. গু. 180; সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরি, সংখ্যাদ্বয় 3x ও 4x [অনুপাত অনুযায়ী)]

∴ সংখ্যাদ্বয়ের ল. সা. গু. = 12x

প্রশ্নমতে, 12x = 180

বা, x = 180/12

∴ x = 15

∴ সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে (3 × 15) = 45

এবং (4 × 15) = 60

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 45 ও 60.

[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]

প্রশ্নঃ 6 : পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। তাদের বয়সের অনুপাত 7 বছর পূর্বে ছিল 5 : 2। 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান : মনে করি, 7 বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল 5k বছর

এবং 7 বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল 2k বছর

এখানে, k অনুপাতের সাধারণ গুণিতক

∴ বর্তমানে পিতার বয়স (5k + 7) বছর

এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স (2k + 7) বছর

আবার, 5 বছর পরে পিতার বয়স (5k + 7 + 5) বছর

= (5k + 12) বছর

এবং 5 বছর পরে পুত্রের বয়স (2k + 7 + 5) বছর

= (2k + 12) বছর

প্রশ্নানুসারে, (5k + 7) + (2k + 7) = 70

বা, 5k + 7 + 2k + 7 = 70

বা, 7k + 14 = 70

বা, 7k = 70 – 14 = 56

বা, k = 56/7 = 8

∴ k = 8

∴ 5 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত

= (5 × 8 + 12) : (2 × 8 + 12)

= (40 + 12) : (16 + 12)

= 52 : 28

= 13 : 7 (Ans.)

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক