উপাত্তের উপস্থাপন কাকে বলে,উপাত্তের সারণিভুক্তকরণ কাকে বলে, ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Cumulative Frequency) কাকে বলে, চলক কাকে বলে, বিছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলক কাকে বলে,উপাত্তের লেখচিত্র কাকে বলে

প্রশ্ন সমাধান: উপাত্তের উপস্থাপন কাকে বলে,উপাত্তের সারণিভুক্তকরণ কাকে বলে, ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Cumulative Frequency) কাকে বলে, চলক কাকে বলে, বিছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলক কাকে বলে,উপাত্তের লেখচিত্র কাকে বলে,গণসংখ্যা বহুভুজ কাকে বলে,ক্রমযোজিত গণসংখ্যা লেখচিত্র কাকে বলে, অজিভ রেখা কাকে বলে,কেন্দ্রীয় প্রবণতা কাকে বলে,গাণিতিক গড় কাকে বলে,শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তের গাণিতিক গড় (সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি)

◈ উপাত্তের উপস্থাপন : গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি পরিসংখ্যানের উপাত্ত। অনুসন্ধানাধীন উপাত্ত পরিসংখ্যানের কাঁচামাল। এগুলো অবিন্যস্তভাবে থাকে এবং অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে সরাসরি প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় না। প্রয়োজন হয় উপাত্তগুলোর বিন্যস্ত ও সারণিভুক্ত করা। আর উপাত্তসমূহের সারণিভুক্ত করা হলো উপাত্তের উপস্থাপন।

◈ উপাত্তের সারণিভুক্তকরণ : কোনো উপাত্তের সারণিভুক্ত করতে হলে প্রথমে তার পরিসর নির্ধারণ করতে হয়। এরপর শ্রেণি ব্যবধান ও শ্রেণিসংখ্যা নির্ধারণ করে ট্যালি চিহ্ন ব্যবহার করে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করা হয়।

উদাহরণ 1। কোনো এক শীত মৌসুমে শ্রীমঙ্গলের জানুয়ারি মাসের 31 দিনের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা (সেলসিয়াস) নিচে দেওয়া হলো। সর্বনিম্ন তাপমাত্রার (সেলসিয়াস) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।

14°, 14°, 14°, 13°, 12°, 13°, 10°, 10°, 11°, 12°, 11°, 10°, 9°, 8°, 9°, 11°, 10°, 10°, 8°, 9°, 7°, 6°, 6°, 6°, 6°, 7°, 8°, 9°, 9°, 8°, 7°।

সমাধান : এখানে তাপমাত্রা নির্দেশক উপাত্তের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 6 এবং বড় সংখ্যা 14।

সুতরাং উপাত্তের পরিসর = (14 – 6) + 1 = 9।

এখন শ্রেণি ব্যবধান যদি 3 নেওয়া হয় তবে শ্রেণি সংখ্যা হবে 93 বা 3।

শ্রেণি ব্যবধান 3 নিয়ে তিন শ্রেণিতে উপাত্তসমূহ বিন্যাস করলে গণসংখ্যা (ঘটন সংখ্যাও বলা হয়) নিবেশন সারণি হবে নিম্নরূপ :

তাপমাত্রা (সেলসিয়াস)	ট্যালি চিহ্ন	গণসংখ্যা বা ঘটন সংখ্যা
6° – 8°	卌卌\|	11
9° – 11°	卌卌\|\|\|	13
12° – 14°	卌\|\|	7
মোট		31

◈ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Cumulative Frequency) :

উদাহরণ 1 এর শ্রেণি ব্যবধান 3 ধরে শ্রেণিসংখ্যা নির্ধারণ করে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করা হয়েছে। উল্লিখিত উপাত্তের শ্রেণি সংখ্যা 3। প্রথম শ্রেণির সীমা হলো 6°-8°। এই শ্রেণির নিম্নসীমা 6° এবং উচ্চসীমা 8° সে। এই শ্রেণির গণসংখ্যা 11।

দ্বিতীয় শ্রেণির গণসংখ্যা 13। এখন প্রথম শ্রেণির গণসংখ্যা 11 এর সাথে দ্বিতীয় শ্রেণির গণসংখ্যা 13 যোগ করে পাই 24। এই 24 হবে দ্বিতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা। আর প্রথম শ্রেণি দিয়ে শুরু হওয়ায় এই শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা হবে 11। আবার দ্বিতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 24 এর সাথে তৃতীয় শ্রেণির গণসংখ্যা যোগ করলে 24 + 7 = 31, যা তৃতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা। এইভাবে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করা হয়। উপরের আলোচনার প্রেক্ষিতে উদাহরণ 1 এর তাপমাত্রার ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি নিম্নরূপ :

তাপমাত্রা (সেলসিয়াস)	গণসংখ্যা	ক্রমযোজিতগণসংখ্যা
6° – 8°	11	11
9° – 11°	13	(11 + 13) = 24
12° – 14°	7	(24 + 7) = 31

◈ চলক : আমরা জানি, সংখ্যাসূচক তথ্যসমূহ পরিসংখ্যানের উপাত্ত। উপাত্তে ব্যবহৃত সংখ্যাসমূহ হলো চলক। যেমন, উদাহরণ 1 এ তাপমাত্রা নির্দেশক সংখ্যাগুলো চলক। তদানুরূপ উদাহরণ 2 এ প্রাপ্ত নম্বরগুলো ব্যবহৃত উপাত্তের চলক।

◈ বিছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলক : পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত চলক দুই প্রকারের হয়। যেমন বিছিন্ন চলক ও অবিচ্ছিন্ন চলক। যে চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হয় তা বিচ্ছিন্ন চলক, যেমন জনসংখ্যা নির্দেশক উপাত্তে পূর্ণসংখ্যা ব্যবহৃত হয়। তাই জনসংখ্যামূলক উপাত্তের চলক হচ্ছে বিচ্ছিন্ন চলক। আর যেসকল চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, সে সকল চলক অবিচ্ছিন্ন চলক। বয়স, উচ্চতা, ওজন ইত্যাদি সংশ্লিষ্ট উপাত্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ব্যবহার করা যায়। তাই এগুলোর জন্য ব্যবহৃত চলক হচ্ছে অবিচ্ছিন্ন চলক। অবিচ্ছিন্ন চলকের দুইটি মানের মধ্যবর্তী যেকোনো সংখ্যাও ঐ চলকের মান হতে পারে।

◈ উপাত্তের লেখচিত্র : আমরা দেখেছি যে, অনুসন্ধানাধীন সংগৃহীত উপাত্ত পরিসংখ্যানের কাঁচামাল। এগুলো গণসংখ্যা নিবেশন সারণিভুক্ত বা ক্রমযোজিত সারণিভুক্ত করা হলে এদের সম্বন্ধে সম্যক ধারণা করা ও সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ হয়। এই সারণিভুক্ত উপাত্তসমূহ যদি লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়, তবে তা বুঝার জন্য যেমন আরও সহজ হয় তেমনি চিত্তাকর্ষক হয়। এ জন্য পরিসংখ্যানের উপাত্তসমূহ সারণিভুক্ত করা ও লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন বহুল প্রচলিত এবং ব্যাপক ব্যবহৃত পদ্ধতি।

◈ গণসংখ্যা বহুভুজ : অবিচ্ছিন্ন উপাত্তের শ্রেণি ব্যবধানের বিপরীত গণসংখ্যা নির্দেশকে বিন্দুসমূহকে পর্যায়ক্রমে রেখাংশ দ্বারা যুক্ত করে যে লেখচিত্র পাওয়া যায়, তাই হলো গণসংখ্যা বহুভুজ।

◈ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা লেখচিত্র বা অজিভ রেখা : কোনো উপাত্তের শ্রেণি বিন্যাসের পর শ্রেণি ব্যবধানের উচ্চসীমা x-অক্ষ বরাবর এবং শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা y-অক্ষ বরাবর স্থাপন করে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার লেখচিত্র বা অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

◈ কেন্দ্রীয় প্রবণতা : অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়। অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো : (1) গাণিতিক গড় (2) মধ্যক (3) প্রচুরক।

◈ গাণিতিক গড় : উপাত্তসমূহের মানের সমষ্টিকে যদি তার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে উপাত্তসমূহের গড় মান পাওয়া যায়। তবে উপাত্তসমূহের সংখ্যা যদি খুব বেশি হয় তাহলে এ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা সময়সাপেক্ষ, বেশ কঠিন ও ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। এ সকল ক্ষেত্রে উপাত্তসমূহ শ্রেণি বিন্যাসের মাধ্যমে সারণিবদ্ধ করে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা হয়।

◈ শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তের গাণিতিক গড় (সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি)

শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তে গাণিতিক গড় নির্ণয়ের জন্য সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি হলো সহজ।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের ধাপসমূহ-

1। শ্রেণিসমূহের মধ্যমান নির্ণয় করা

2। মধ্যমানসমূহ থেকে সুবিধাজনক কোনো মানকে আনুমানিক গড় (a) ধরা

3। প্রত্যেক শ্রেণির মধ্যমান থেকে আনুমানিক গড় বিয়োগ করে তাকে শ্রেণি ব্যপ্তি দ্বারা ভাগ করে ধাপ বিচ্যুতি u = (মধ্যমান – আনুমানিক গড়/শ্রেণিব্যাপ্তি) নির্ণয় করা

4। ধাপ বিচ্যুতিকে সংশ্লিষ্ট শ্রেণির গণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা

5। বিচ্যুতির গড় নির্ণয় করা এবং এর সাথে আনুমানিক গড় যোগ করে কাক্সিক্ষত গড় নির্ণয় করা।

◈ প্রচুরক

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক। একটি উপাত্তের এক বা একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে

আরো ও সাজেশন:-

◈ শ্রেণি বিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয়

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

⬔ সঠিক উত্তরে টিক (✓) চিহ্ন দাও :

প্রশ্নঃ 1 : নিচের কোনটি দ্বারা শ্রেণি ব্যাপ্তি বোঝায়?

(ক) উপাত্তসমূহের মধ্যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম উপাত্তের ব্যবধান

(খ) উপাত্তসমূহের মধ্যে প্রথম ও শেষ উপাত্তের ব্যবধান

☑ প্রত্যেক শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য

(ঘ) প্রত্যেক শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সমষ্টি

প্রশ্নঃ 2 : উপাত্তসমূহ সারণিভুক্ত করা হলে প্রতি শ্রেণিতে যতগুলো উপাত্ত অন্তর্ভুক্ত হয় তার নির্দেশক নিচের কোনটি?

(ক) শ্রেণি সীমা

(খ) শ্রেণির মধ্যবিন্দু

(গ) শ্রেণি সংখ্যা

☑ শ্রেণির গণসংখ্যা

[বি.দ্র. পাঠ্যবইয়ের উত্তর সঠিক নয়]

প্রশ্নঃ 3 : পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। উপাত্তের এই প্রবণতাকে বলা হয়-

(ক) প্রচুরক

☑ কেন্দ্রীয় প্রবণতা

(গ) গড়

(ঘ) মধ্যক

শীতকালে বাংলাদেশের কোনো একটি অঞ্চলের 10 দিনের তাপমাত্রার (সেন্ট্রিগ্রেড) পরিসংখ্যান হলো 10°, 9°, 8°, 6°, 11°, 12°, 7°, 13°, 14°, 5°। এই পরিসংখ্যানের প্রেক্ষিতে (4-6) পর্যন্ত প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

প্রশ্নঃ 4 : উপরের সংখ্যাসূচক উপাত্তের প্রচুরক কোনটি?

(ক) 12°

(খ) 5°

(গ) 14°

☑ প্রচুরক নেই

ব্যাখ্যা : সবচেয়ে বেশি বার ঘটমান সংখ্যা হলো প্রচুরক। এখানে বারবার ঘটমান কোনো সংখ্যা নেই। সুতরাং এখানে প্রচুরক নেই।

প্রশ্নঃ 5 : উপরের সংখ্যাসূচক উপাত্তের গড় তাপমাত্রা কোনটি?

(ক) 8°

(খ) 8.5°

☑ 9.5°

(ঘ) 9°

প্রশ্নঃ 6 : উপাত্তসমূহের মধ্যক কোনটি?

☑ 9.5°

(খ) 9°

(গ) 8.5°

(ঘ) 8°

নিচে তোমাদের স্কুলের 8ম শ্রেণির সমাপনী পরীক্ষায় বাংলায় প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা সারণি দেওয়া হলো। এই সারণি থেকে (8-16) পর্যন্ত প্রশ্নের উত্তর দাও :

শ্রেণি ব্যাপ্তি	31-40	41-50	51-60	61-70	71-80	81-90	91-100
গণসংখ্যা	6	12	16	24	12	8	2
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা	6	18	34	58	70	78	80

প্রশ্নঃ 8 : উপাত্তসমূহের কয়টি শ্রেণিতে বিন্যস্ত করা হয়েছে?

(ক) 6

☑ 7

(গ) 8

(ঘ) 9

প্রশ্নঃ 9 : সারণিতে উপস্থাপিত উপাত্তের শ্রেণি ব্যাপ্তি কত?

(ক) 5

(খ) 9

☑ 10

(ঘ) 15

প্রশ্নঃ 10 : 4র্থ শ্রেণির মধ্যমান কত?

(ক) 71.5

(খ) 61.5

(গ) 70.5

(ঘ) 75.6

[বি.দ্র. সঠিক উত্তর 65.5]

প্রশ্নঃ 11 : উপাত্তের মধ্যক শ্রেণি কোনটি?

(ক) 41-50

(খ) 51-60

☑ 61-70

(ঘ) 71-80

প্রশ্নঃ 12 : মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির যোজিত গণসংখ্যা কত?

(ক) 18

☑ 34

(গ) 58

(ঘ) 70

[বি.দ্র. পাঠ্যবইয়ের উত্তর সঠিক নয়]

প্রশ্নঃ 13 : মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা কত?

(ক) 41

(খ) 51

☑ 61

(ঘ) 71

ব্যাখ্যা : মধ্যক শ্রেণি হলো (61 – 70), এর নিম্ন সীমা 61।

প্রশ্নঃ 14 : মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা কত?

(ক) 16

☑ 24

(গ) 34

(ঘ) 58

ব্যাখ্যা : মধ্যক শ্রেণি হলো (61 – 70), এই শ্রেণির গণসংখ্যা হলো 24।

প্রশ্নঃ 15 : উপস্থাপিত উপাত্তের মধ্যক কত?

(ক) 63

☑ 63.5

(গ) 65

(ঘ) 65.5

প্রশ্নঃ 16 : উপস্থাপিত উপাত্তের প্রচুরক কত?

(ক) 61.4

(খ) 61

(গ) 70

(ঘ) 70.4

[বি.দ্র. সঠিক উত্তর 65]

প্রশ্নঃ 17 : কোনো স্কুলের 10ম শ্রেণির 49 জন শিক্ষার্থীর ওজন (কিলোগ্রাম) হলো :

45, 50, 55, 51, 56, 57, 56, 60, 58, 60, 61, 60, 62. 60, 63, 64, 60, 61, 63, 66, 67, 61, 70, 70, 68, 60, 63, 61, 50, 55, 57, 56, 63, 60, 62, 56, 67, 70, 69, 70, 69, 68, 70, 60, 56, 58, 61, 63, 64।

(ক) শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।

(খ) সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।

(গ) গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপিত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ আঁক।

সমাধান :

(ক)এখানে ওজন নির্দেশক উপাত্তের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 45 এবং বড় সংখ্যা 70। উপাত্তের পরিসর = (70 – 45) + 1 = 26

দেওয়া আছে, শ্রেণি ব্যবধান = 5

শ্রেণি সংখ্যা = 26/5 = 5.2 বা 6

অতএব 45 থেকে শুরু করে শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করা হলো।

ওজন (কিলোগ্রাম)শ্রেণি	ট্যালি চিহ্ন	গণসংখ্যা (f_i)
45-49	卌	1
50-54	\|\|\|	3
55-59	卌卌\|	11
60-64	卌卌卌卌\|\|	22
65-69	卌\|\|	7
70-74	卌	5
		n = 49

সমাধান :

(খ)[ক] হতে প্রাপ্ত গণসংখ্যা সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে অনুসৃত ধাপের আলোকে গড় নির্ণয়ের সারণি নিম্নরূপ :

ওজন (কিলোগ্রাম)শ্রেণি	শ্রেণির মধ্যমান(x_i)	গণসংখ্যা(f_i)	বিচ্যুতি সংখ্যাu_i = x-a/h	গণসংখ্যা × বিচ্যুতিসংখ্যা(f_iu_i)
45-49	47	1	– 3	– 3
50-54	52	3	– 2	– 6
55-59	57	11	-1	– 11
60-64	62	22	0	0
65-69	67	7	1	7
70-74	72	5	2	10
		n = 49		Sf_iu_i = – 3

এখন, অনুমিত শ্রেণির মধ্যবিন্দু = 62

শ্রেণি ব্যবধান = 5

আমরা জানি, গড় -x = a + Σfiuin × h যেখানে,

= 62 + – 3/49 × 5

= 62 – 15/49

= 62 – 0.3061

= 61.69

∴ শিক্ষার্থীদের ওজনের আনুমানিক গড় 61.69 কেজি। (উত্তর)

সমাধান :

(গ)‘খ’ তে প্রাপ্ত গড় নির্ণয়ের সারণি হতে গণসংখ্যা বহুভুজ নির্ণয় করা যায়। এখানে প্রাপ্ত উপাত্ত বিচ্ছিন্ন। এক্ষেত্রে শ্রেণি ব্যবধানের মধ্যবিন্দু বের করে সরাসরি গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা সুবিধাজনক। x-অক্ষ ও y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে সারণিতে উপস্থাপিত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন করা হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে 42 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো বিদ্যমান বোঝাতে x-অক্ষে ভাঙ্গা চি‎হ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক