প্রমাণ কর যে যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা, প্রমাণ কর যে দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য, 2.3˙ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর

প্রশ্ন সমাধান: প্রমাণ কর যে যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা, প্রমাণ কর যে দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য, 2.3˙ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর

প্রশ্ন \ 3 \ (ক) প্রমাণ কর যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

সমাধান : মনে করি, n একটি বিজোড় সংখ্যা

∴ n = 2x – 1; যেখানে x একটি পূর্ণ সংখ্যা

∴ n² = (2x -1)²; উভয়পক্ষকে বর্গ করে

= (2x)² – 2.2x.1 + (1)²

= 4x² – 4x + 1 = 4x(x -1) + 1

এখানে, 4x(x -1) সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ জোড় সংখ্যা।

∴ 4x(x -1) + 1 সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা।

অতএব, n² বিজোড় সংখ্যা।

সুতরাং সকল বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা (প্রমাণিত)

(খ) প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধান : মনে করি, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা যথাক্রমে 2x ও 2x + 2

ক্রমিক সংখ্যা দুইটির গুণফল, 2x × (2x + 2); যেখানে x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ 2x ×(2x + 2) = 2x (2x + 2) = 4x² + 4x = 4x (x + 1)

এখানে, x ও x + 1 দুইটি ক্রমিক সংখ্যা। সুতরাং এদের একটি জোড় সংখ্যা হবেই।

∴ x(x + 1) সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

∴ 4x(x +1) সংখ্যাটি 4 × 2 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

অতএব, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

সুতরাং x এর স্বাভাবিক মান নির্বিশেষে 8 দ্বারা 4x(x +1) সংখ্যাটি বিভাজ্য হবে। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 6 \ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :

(ক) 2.3˙, 5.23˙5˙

সমাধান : 2.3˙, 5.23˙5˙ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা যথাক্রমে 0, 1 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 ও 2। সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 হবে আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে যথাক্রমে 1 ও 2 এর ল. সা. গু. 2। অর্থাৎ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক সংখ্যার দশমিকের পরে মোট সংখ্যা (1 + 2) = 3টি।

সুতরাং 2. 3˙ = 2.33˙3˙

5.23˙5˙ = 5.23˙5˙

নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 2.33˙3˙, 5.23˙5˙

(খ) 7.26˙, 4.237˙

সমাধান : 7.26˙ ও 4.237˙ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা যথাক্রমে 1 ও 2 । এখানে অনাবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যা 4.237˙ দশমিকে বেশি এবং এ সংখ্যা হলো 2। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 হবে। 7.26˙ ও 4.237˙ আবৃত্ত দশমিকে আবৃত্ত অংশের সংখ্যা যথাক্রমে 1 ও 1। 1 ও 1এর ল. সা. গু. হলো 1। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 হবে।

সুতরাং 7.26˙ = 7.266˙,

4.237˙ = 4.237˙

নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 7.266˙,4.237˙

(গ) 5.7˙, 8. 3˙4˙, 6.2˙45˙

সমাধান : 5.7˙, 8.3˙4˙ ও 6.2˙45˙ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা যথাক্রমে, 0, 0 ও 0। এখানে অনাবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যা 0। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 0 হবে। 5.7˙, 8. 3˙4˙ ও 6. 2˙45˙ আবৃত্ত দশমিকে আবৃত্ত অংশের সংখ্যা যথাক্রমে 1, 2 ও 3। 1, 2 ও 3 এর ল.সা.গু. হলো 6। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 6 হবে।

সুতরাং 5.7˙ = 5.7˙77777˙,

8.3˙4˙ = 8. 3˙43434˙ ও 6. 2˙45˙ = 6. 2˙45245˙

নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 5.7˙77777˙, 8.3˙43434˙ ও 6.2˙45245˙

(ঘ) 12.32, 2.19˙, 4.325˙6˙

সমাধান : 12.32 এ অনাবৃত্ত অংশ বলতে দশমিক বিন্দুর পরে 2টি অঙ্ক এখানে আবৃত্ত অংশ নেই। 2.1দ্ধ9 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1, 4.32দ্ধ5দ্ধ6 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2। এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি হলো 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 ও 2 এর ল. সা. গু. 2। প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2।

∴ 12.32 = 12.320˙0˙

2.19˙ = 2.199˙9˙

ও 4.325˙6˙ = 4.325˙6˙

নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 12.320˙0˙, 2.199˙9˙ ও 4.325˙6˙

আরো ও সাজেশন:-

প্রশ্ন \ 12 \ নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লেখ :

(ক) 0.4˙

সমাধান : 0.4˙ = 4÷9

∴ 0.4˙ সংখ্যাটি মূলদ

(খ) √9

সমাধান : √9 = √3² = 3

∴ √9 সংখ্যাটি মূলদ

(গ) √11

সমাধান : √11

∴ √11 সংখ্যাটি অমূলদ

(জ) 5.6˙39˙

সমাধান : 5.6˙39˙ = 5639 – 5÷999 = 5634÷999

∴ 5.6˙39˙ সংখ্যাটি মূলদ

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক