[ বি:দ্র:এই সাজেশন যে কোন সময় পরিবতনশীল ১০০% কমন পেতে পরিক্ষার আগের রাতে সাইডে চেক করুন এই লিংক সব সময় আপডেট করা হয় ]
জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
বিবিএ অনার্স দ্বিতীয় বর্ষ।
ব্যবসায় গণিত থিওরি।
হিসাব বিজ্ঞান বিভাগ, মার্কেটিং বিভাগ, ব্যবস্থাপনা বিভাগ, ও ফিন্যান্স এন্ড ব্যাংকিং বিভাগের জন্য।
সেট তত্ত্ব।
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
১. সেট কি?
উত্তরঃ সমজাতীয় কিছু সংখ্যক জিনিসের সমষ্টিকে সেট বলে।
২. ফাকা সেট? Null set কাকে বলে?
উত্তরঃ যে সেটে কোন উপাদান থাকে না তাকে ফাকা সেট বলে।
৩. একক বা এক উপাদানী সেট কাকে বলে?[জাবি-২০১৬]
উত্তরঃ যে সেটে উপাদান সংখ্যা মাত্র একটি তাকে একক বা এক উপাদানী সেট বলে।
৪. সংযোগ সেট কাকে বলে?
উত্তরঃ দুই বা ততধিক সেটের সকল ভিন্ন উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ঐ সেট গুলির সংযোগ সেট বলে।
৫. সমতুল্য সেট কাকে বলে?[জাবি-২০১৩]
উত্তরঃ যদি একটি সেটের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপাদান অন্য আরেকটি সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে মিল করে রাখা হয় তখন ঐ সেট দুটিকে সমতুল্য সেট বলে।
৬. সেটের দুটি বৈশিষ্ট্য লিখ।
উত্তরঃ সেটের দুটি বৈশিষ্ট নিন্মরূপঃ
১. সেটের একটি নাম থাকতে হবে।
২. সেটকে নির্দিষ্ট হতে হবে।
৭. সসীম সেট কাকে বলে?
উত্তরঃ যে সেটের উপাদান গুলো গণনা করে শেষ করা যায় তাকে সসীম বা Finite সেট বলে।
৮. অসীম সেট বলতে কি বোঝায়?
উত্তরঃ যে সেটের উপাদান সমুহের গননা করে শেষ করা যায় না বা মান গুলো নির্ধারীত নয় তাকে অসীম সেট বলে।
৯. সার্বিক সেট কাকে বলে?
উত্তরঃ যে সেটের মধ্যে আন্যান্য সকল সেটের উপাদান সমূহ উল্ল্যেখ থাকে তাকে সার্বিক সেট বলে।
১০. সাব সেট ও সুপার সেট বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ যদি একটি সেটের উপাদান অন্য আরেকটি সেটের মধ্যে থাকে তাহলে ১ম সেটটিকে বলা হয় সাবসেট ও ২য় সেটটিকে বলা হয় সুপারসেট।
১১. শক্তি সেট বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ একটি সেট থেকে যতগুলো উপসেট গঠন করা যায় তাকে শক্তিসেট বা power set বলে।
১২. সেটের ছেদন/ ছেদ বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ দুই বা ততোধিক সেটের সকল কমন উপাদান নিয়ে যে সেট গঠন করা হয় তাকে সেটের ছেদন বা সেটের ছেদ বলে।
১৩. পূরক সেট বা পরিপূরক সেট বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ সার্বিক সেটে যে উপাদান সমুহ আছে কিন্তু অন্য সেটে সে উপাদান গুলো নেই ঐ উপাদান নিয়ে যে সেট গঠন করা হয় তাকে পূরক সেট বলে।
১৪.ভেনচিত্র কি?[জাবি-২০১৭]
উত্তরঃ যে চিত্রের মাধ্যমে সেট প্রকৃয়ার উপস্থাপন অর্থাৎ সম্পর্ক দেখান হয় তাকে ভেনচিত্র বলা হয়।
১৫. {০} বলতে কি বোঝায়?[জাবি-২০১২,২০১৫]
উত্তরঃ {০} একটি একক সেট যার উপাদান ০ শুণ্য।
১৬.উপসেট বলতে কি বোঝায়?[জাবি-২০১৭]
উত্তরঃ যদি একটি সেটের উপাদান অন্য আরেকটি সেটের মধ্যে থাকে তাহলে ১ম সেটটিকে বলা হয় সাব সেট।
১৭. কে ভেনচিত্র আবিস্কার করেন?[জাবি-২০১১,২০১৭]
উত্তরঃ ভেনচিত্র আবিস্কার করেন ব্রিটিশ গণিতবিদ John Venn.
১৮.যদি A ও B দুটি অশুণ্য সেট হয় তবে n(A ÈB)=কত?[জাবি-২০১১]
উত্তরঃ n(AÈB)=n(A)+n(B)-n(AÇB)
19. সেট A={2,3} সেট B={0,.-1} হলে A´B=?[nu-2011]
ঊত্তরঃ A´B={(2,0),(2,-1),(3,0),(3,-1)}
20. সেট A={5,7} হয় তাহলে p(A)=?(if A={5,7} then P(A)=?
উত্তরঃ P(A)={5},{7},{5,7} Æ
১. সেট কাকে বলে?
উত্তরঃসেটঃ সুনির্দিষ্ট ও পস্পর ভিন্ন বস্তু সমুহের যে কোন সংগ্রহকে সেট বলে।
(ক) D.C.Sancheti এবং V.K,Kapoor. এর মতে, “ A set is collection of well definied and well distinguished objects.
(খ) ড. মোহাম্মদ আলীর মতে,” একই জাতীয় কিছু সংখ্যক জিনিসের সমষ্টিকে একটি সেট বলে?
(গ) এস.এম. মাহফুজুর রহমানের মতে। নির্দিষ্ট ভাবে সংজ্ঞায়িত পৃথক পৃথক বস্তুর নির্দিষ্ট সমষ্টিকে সেট বলে।
পরিশেষে বলা যায়, কতগুলো পৃথক বস্তুর সমষ্টিকে সেট বলে।
যেমনঃ গিন্নিত আচল বাধা একগুচ্ছ চাবি।
******
২. সেটের বৈশিষ্ট্য সমুহ আলোচনা কর?
উত্তরঃ সেটের বিভিন্ন সংজ্ঞা গুলোকে বিশ্লেষন করলে আমরা এর মধ্যে কতগুলো বৈশিষ্ট্য দেখতে পাই। নিম্নে কয়েকটি উল্ল্যেখ যোগ্য বৈশিষ্ট্য তুলে ধরা হলো।
১) সেটের অন্তর্গত বস্তু সমুহ পস্পর পৃথক ভাবে স্বতন্ত্র হতে হবে।
২) সেটের অন্তর্গত বস্তুসমুহ সমজাতীয় হতে হবে।
৩) সেটের উপাদান গুলো কোন ক্রম মেনে চলবে না।
৪) সেটের অন্তর্ভুক্ত উপাদান গুলো অবশ্যই {} এর মধ্যে লিখতে হবে।
৫) সেটের সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
৬) প্রত্যেক সেট তার নিজের উপসেট।
৭) ফাকা সেটে সকল সেটের উপসেট।
*******
৩. ব্যবসায়-বাণিজ্য শিক্ষায় সেট থিউরির গুরূত্ব গুলো কি কি?
উত্তরঃ ব্যবসায়-বাণিজ্যে শিক্ষায় সেট থিউরির গুরুত্ব নিম্নরূপঃ
(ক) বাজার জরিপ করা।
(খ) ভোক্তা সাধারণের স্বার্থরক্ষার চেষ্টা করা হয়।
(গ) মুনাফা অর্জন কৌশল নির্ধারণ করা হয়।
(ঘ) লাভ জনক প্রকল্প অথবা ব্যবসায় বাছাই করে বিনিয়োগ করা।
(ঙ) ব্যবস্থাপকীয় সিদ্ধান্ত গ্রহনে সহায়তা প্রদান করা হয়।
৪. ফাকা সেটের কোনো প্রকৃত উপসেট নেই –ব্যখ্যা কর?
উত্তরঃ ফাকা সেটের কোন প্রকৃত উপসেট নেই। কেননা ফাকা সেটের কোন উপাদান না থাকার কারনে উহা নিজেই একটি অপ্রকৃত উপসেট। যেমন: A={}=Æ একটি ফাকা সেট। ইহার একটি মাত্র উপসেট আছে। আর সেটি হলো Æ সুতরাং A সেটটির কোন প্রকৃত সেট গঠন সেট করা যাবে না। তাই বলা যায় যে ফাকা সেটের কোন প্রকৃত উপসেট নেই।
৫. Æ (ফাই) সকল সেটের উপসেট- ব্যখ্যা কর?
উত্তরঃ Æ কে সকল সেটের উপসেট বলা হয়। নিচে এ সম্পর্কে আলোচনা করা হলোঃ
ধরি, A={1,2}, B={3,4} এবং C= {x,y}. তিনটি যে কোন সেট । এদের উপসেট সমুহ নির্নয় করতে হবে। A= {1,2}
সেটের উপসেট সংখ্যা =
উপসেট সমুহঃ A1={1,2}, A3={2}
A2={1}, A4={} = Æ
C={x,y} সেটের উপসেট সংখ্যা =
উপসেট সমুহঃ C1={x}, C3={x,y}
C2={y} C4={}=Æ
উপরের ব্যাখ্যা ও আলোচনা থেকে দেখা যাচ্ছে যে A, B, এবং C সেট তিনটি প্রত্যেকটির উপসেট গুলোর মধ্যে Æ বিদ্যমান। সুতরাং বলা যায় যে, Æ সকল সেটের উপসেট।
৬. সেট ও উপসেটের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ সেট ও উপসেটের মধ্যে পার্থক্য নিন্ম রূপঃ
(১)পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
সেটঃ সুনির্দিষ্ট ভাবে সংজ্ঞায়ীত ও পরস্পর পার্থক্যযোগ্য বস্তুসমুহের সংগৃহিত তালিকাকে সেট বলে।
উপসেটঃ যদি একটি সেটের সকল উপাদান অন্য সেটে থাকে তাহলে প্রথম সেটকে পরবর্তী সেটের উপসেট বলে।
(২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
প্রতিক।
সেটঃ সাধারনত ইংরেজি বর্ণমালায় বড় হাতের অক্ষর। যেমন , -A, B, C ইত্যাদি।
উপসেটঃ Í চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(৩)পার্থক্যের বিষয়ঃ
উধাহরণ।
সেটঃ A= {1, 2, 3, 4}
উপসেটঃ A= {1,2,3}, B= {1,2,3,4 হলে, A Í B হবে। B Í A ।
৭. ফাকা সেট ও সার্বিক সেটের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ নিম্নে ফাকা সেট ও সার্বিক সেটের পার্থক্য দেখানো হলো।
(১)পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
ফাকা সেটঃ যে সেটের কোন উপাদান নেই তাকে ফাকা সেট বলে।
সার্বিক সেটঃ আলোচনাধীন সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সার্বিক সেট বলে।
(২)পার্থক্যের বিষয়ঃ
প্রতীক।
ফাকা সেটঃ Æ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সার্বিক সেটঃ U চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপাদান।
ফাকা সেটঃ এই সেটে কোন উপাদান থাকে না।
সার্বিক সেটঃ স্বাভাবিক অবস্থাই অবশ্যই উপাদান থাকবে।
(৪)পার্থক্যের বিষয়ঃ
ভিন্ন ভিন্ন নাম।
ফাকা সেটঃ এই সেটকে শুণ্য সেট/ খালি সেট। নাল সেট/ ফাকা সেট বলে।
সার্বিক সেটঃ এই সেটকে নিখিল/ সার্বজনীণ সেট/ বিশ্ব সেট বলে।
(৫)পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদাহরণ।
ফাকা সেটঃ Æ = { ঢাকা কলেজের ছাত্রীদের সংখ্যা।}
সার্বিক সেটঃ U = { ঢাকা কলেজের সকল ছাত্ররা}
(৬)পার্থক্যের বিষয়ঃ
ভেনচিত্র।
ফাকা সেটঃ
Æ=U
| পৃথিবীতে ১৫ উচ্চ মানুষের সেট। |
সার্বিক সেটঃ
U
| ঢাকা কলেজের সকল ছাত্রদের সেট। |
৮.অসীম ও সসীম সেটের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
অসীম ও সসীম সেটের মধ্যে পার্থক্য নম্নরূপঃ
(১) পার্থক্যের নামঃ
সংজ্ঞা।
অসীম সেটঃ যে সেটের উপাদান সংখ্যা গননা করে শেষ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
সসীম সেটঃ যে সেটের উপাদান সংখ্যা সীমিত বা গননা যোগ্য তাকে সসীম সেট বলে।
(২)পার্থক্যের নামঃ
উদাহরণ।
অসীম সেটঃ A= { আকাশে তারার সংখ্যা}
সসীম সেটঃ A = { ঢাকা কলেজের ব্যবস্থাপনা বিভাগের ছাত্র সংখ্যা।}
(৩)পার্থক্যের নামঃ
উপাদানের সংখ্যা।
অসীম সেটঃ এই সেটের উপাদান সংখ্যা অসীম।
সসীম সেটঃ এই সেটের উপাদান সংখ্যা সসীম।
৯. ফাকা সেট ও শুণ্য সেটের (০) সেটের মধ্যে পার্থক্য নির্নয় কর?
উত্তরঃ নিন্মে ফাকা সেট ও শুণ্য সেটের মধ্যে পার্থক্য দেখানো হলো।
(১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
ফাকা সেটঃ যে সেটের কোনো উপাদান থাকে না তাকে ফাকা সেট বলে।
শুণ্য সেটঃ {০} শুন্য সেট দ্বারা একটি সেট বুঝায় যার একটি উপাদান শুণ্য (০) আছে। এটি একটি একক সেট।
(২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপাদান সংখ্যা।
ফাকা সেটঃ ফাকা সেটের কোন উপাদান থাকে না।
শুণ্য সেটঃ শুন্য সেট (০) সেটে (০) নিজেই একটি উপাদান।
(৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংকেত।
ফাকা সেটঃ ফাকা সেটেকে গ্রিক অক্ষর Æ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
শুণ্য সেটঃ শুন্য সেটের সংক্রত শুন্য।
(৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উধাহরণ।
ফাকা সেটঃ A= {} = Æ
শুণ্য সেটঃ {0}
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে , ফাকা সেট ও শুন্য সেট পস্পর বিপরীত ধর্মী দুটি সেট অর্থৎ একটি অন্যটি হতে স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন।
১০. উপসেট ও প্রকৃত উপসেটের পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ নিন্মে উপসেট ও প্রকৃত উপসেটের পার্থক্য দেখানো হলো
(১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
উপসেটঃ যদি কোন একটি সেটের সবগুলো উপাদান অন্য আরেকটি সেটেও থাকে তাহলে দ্বিতীয় সেটটি পেথম সেটটির উপসেট বলে।
প্রকৃত উপসেটঃ সমান সংখ্যক উপাদান না নিয়ে অর্থাৎ কমপক্ষে একটি উপাদান নিয়ে গঠিত উপসেটকে প্রকৃত উপসেট বলে।
(২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপাদান।
উপসেটঃ উপসেটে উপাদান থাকে না।
প্রকৃত উপসেটঃ প্রকৃত উপসেটে উপাদান থাকে।
(৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদাহরণ।
উপসেটঃ A={a,b,c,d,}, B= { a,c,d,b}
প্রকৃত উপসেটঃ A={1,2,3,4,5}, B= { 1,2,3,4 }
(৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
চিহ্ন ।
উপসেটঃ BÍ A বা A Ê B
প্রকৃত উপসেটঃ BÌ A বা A É B
(৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
প্রকারভেদ।
উপসেটঃ উপসেট দুই প্রকার হয়।
প্রকৃত উপসেটঃ প্রকৃত উপসেটের প্রকারভেদ নেই।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে , সেটের উপাদানের ভিন্নতার কারনে সেটকে বিভিন্ন ভাবে ভাগ করা হয় এবং বিভিন্ন প্রকার সেটের মধ্যে পার্থক্য দেখা দেয়।
১১. সমান ও সমতুল্য সেটের পার্থক্য কি দেখাও?
উত্তরঃ নিন্মে সমান ও সমতুল্য সেটের মধ্যে পার্থক্য দেখানো হলো।
(১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
সমান সেটঃ যদি দুই সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পরস্পর সমান হয় তখন ঐ দুটি সেটকে সমান সেট বলে।
সমতুল্য সেটঃ যদি কোন সেটের প্রতিটি উপাদান অপর সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে সামঞ্জস্য পূর্ণ হয় তখন তাকে সমতুল্য সেট বলে।
(২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপাদান।
সমান সেটঃ দুই সেটে একই উপাদান হতে হবে।
সমতুল্য সেটঃ দুটি সেটে ভিন্ন ভিন্ন উপাদান হতে হবে।
(৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
প্রতিক।
সমান সেটঃ সমান সেটকে সাধারন্ত সমান চিহ্ন (=) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সমতুল্য সেটঃ সমতুল্য সেটকে বুঝানোর জন্য (@) প্রতিক ব্যবহার করা হয়।
(৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপাদানের সংখ্যা।
সমান সেটঃ দুটি সেটের উপাদান সংখ্যা সমান নাও হতে পারে।
সমতুল্য সেটঃ দুটি সেটের উপাদান সংখ্যা সমান থাকে।
(৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদাহরণ।
সমান সেটঃ
যেমনঃ A={ a,e,i,o,u}, B={i,o,e,u,a} হলে A = B
সমতুল্য সেটঃ A={ a,b,c,d}, B={1,2,3,4 } হলে A @ B
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে, সমান সেটের প্রতিটি উপাদান সমান হয়। অপরদিকে সমতুল্য সেটের প্রতিটি উপাদান সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়।
.
১২. প্রকৃত উপসেট ও অপ্রকৃত উপসেট এর মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ নিন্মে প্রকৃত ও অপ্রকৃত উপসেটের মধ্যে পার্থক্য দেখানো হলো।
(১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
প্রকৃত উপসেটঃ যদি A ও B দুটি সেট হয় A সেটের সব উপাদান B সেটের মধ্যে বিদ্যমান থাকে এবং B সেটে অন্তত একটি উপাদান বেশি থাকে যা A সেটের মধ্যে বিদ্যমান থাকে না ,তবে A সেটকে B সেটের প্রকৃত উপসেট বলে।
অপ্রকৃত উপসেটঃ যদি A ও B দুটি সেট হয় A সেটের সব উপাদান B সেটের সব উপাদান সমান হয় তবে A সেটকে B সেট এবং A সেটকে B সেটের অপ্রকৃত উপসেট বলে।
(২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
প্রতীক।
প্রকৃত উপসেটঃ প্রকৃত উপসেটকে A Ì B প্রতিক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অপ্রকৃত উপসেটঃ অপ্রকৃত উপসেটকে A Í B প্রতিক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদাহরণ।
প্রকৃত উপসেটঃ যদি A={0,1,2}, B={1,2,3,4} হয় তবে A Ì B হবে।
অপ্রকৃত উপসেটঃ যদি A={1,2,3,4}, B={1,2,3,4} হয় তবে A Í B হবে।
(৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপাদান।
প্রকৃত উপসেটঃ প্রকৃত উপসেটে কোন সুনির্দিষ্ট থাকে না। সেটের উপাদানের চেয়ে অন্তত পক্ষে একটি উপাদান কম থাকে।
অপ্রকৃত উপসেটঃ অপ্রকৃর সেটে দুটি সেটের সব উপাদান থাকে । উপাদান সমান হয়।
(৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উপসেট সংখ্যা।
প্রকৃত উপসেটঃ n সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট সেটের প্রকৃত উপসেট{
অপ্রকৃত উপসেটঃ n সংখ্যক উপাদান বিশিষ্ট সেটের অপ্রকৃত উপসেট{
১৩. ভেনচিত্র কি? ভেনচিত্রের গুরূত্ব আলোচনা কর।
উত্তরঃ ভুমিকাঃ সেট ও সেটের বিভিন্ন প্রকৃয়া বা বিষয়াদি চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপনের কৌশল প্রথম উদ্ভাবন করেন আয়লার। পরবর্তীতে ইংরেজ গণিত বিদ জন ভেন এর বিকাশ ঘটান। যেহেতু আইলার ও ভেন এ চিত্রের উদ্ভাবন করেন তাই তাদের নামানুসারে এ চিত্রের নাম করন করা হয়। ভেন আয়লার চিত্র। সংক্ষেপে ভেনচিত্র।
ভেনচিত্রঃ যে চিত্রের সাহায্যে সেটের এবং সেটের কার্যক্রম সহজ ভাবে উপস্থাপন করা হয় তাকে ভেন আয়লার চিত্র বা ভেনচিত্র বলা হয়। গণিত বিষারদ জন ভেন চিত্রের মাধ্যমে সেটের ও সেটের প্রকৃয়া সর্ব প্রথম উপস্থাপন করেন বিধায় এ চিত্রেকে ভেনচিত্র বলা হয়। ভেনচিত্রে প্রত্যেকটি সেটকে সমতল ক্ষেত্র হিসাবে বিবেচনা করা হয়।যাদের প্রত্যেকটি ক্ষেত্র বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ। সাধারনত সাবসেটকে বুঝাতে বৃত্তাকার ও সার্বিক সেটকে বুঝাতে আয়তাকার বা বর্গাকার ক্ষেত্র ব্যবহার করা হয়।
ভেনচিত্রের গুরুত্বঃ আধুনিক সেট তত্ত্ব ভেনচিত্রের গুরুত্ব অপরিসীম। জর্জ ক্যান্টরের আবিস্কারকে যদি সেট তত্ত্বের অডিও বলা হয়। তবে জন ভেনের ভেনচিত্রকে সেটের ভিডিও বলতে হবে। মূলত ভেনচিত্রের মাধ্যমে খুব সহজেই বিভিন্ন রকম সেটের পারস্পরিক সম্পর্ক প্রকাশ করা যায়। আজকাল সেটের বিভিন্ন রকম সম্পর্ক যেমনঃ সেটের ছেদ, সংযোগ, পূরক, প্রভৃতি ব্যখ্যা করার জন্য ব্যপকভাবে ভেনচিত্র ব্যবহার হয়ে থাকে। তাছাড়া ভেন চিত্রের জন্য ঘন জ্যামিতির প্রয়োজন হয় না বলে অতি সহজ একতলীয় জ্যামিতির মাধ্যমে এর ব্যবহার দিন দিন বৃদ্ধি পাচ্ছে। ইদানিং গণিত শাস্ত্রের নানাবিধ প্রমান অনুসন্ধানে ভেনচিত্র ব্যবহার হচ্ছে। আধুনিক স্পেস টেকনোলজি, ইলেক্ট্রনিক্স ডিজিটাল লজিক গেট, সার্কিট ডিজাইন কনস্ট্রাকশন ডেভোলপমেন্ট, রিজিওনাল সিগমেন্ট, এমনকি রাষ্ট্রীয় প্রতিরক্ষার অপরাধ নিধন কর্মেও ভেনচিত্র ব্যপক হারে ব্যবহার হচ্ছে। এককাথায় ভেনচিত্র হলো গণিতিক যুক্তিবিদ্যার ভিডিওগ্রাফি।
উপসংহারঃ উপরিউক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায় যে, ভেনচিত্রের সাহায্যে গণিতিক যুক্তি বিদ্যার ভিডিও গ্রাফি প্রকাশ করা হয় এবং এর সাহায্যে গণিত শাস্ত্রের নানা বিধ প্রমান অনুসন্ধান সহজ করা যায়।
সংখ্যা পদ্ধতি।
Real Number System.
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
১. স্বাভাবিক সংখ্যা কি?
উত্তরঃ যে সকল ধনাত্বক পূর্ণসংখ্যা গণনার জন্য ব্যবহৃত হয় সেগুলোকেই স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।
২. দুই বা ততোধিক সংখ্যার স্বাভাবিক সংখ্যার গুনফল কি হবে?
উত্তরঃ স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।
৩. স্বাভাবিক সংখ্যার প্রকাশক প্রতীক কি?
উত্তরঃ স্বাভাবিক সংখ্যার প্রতিক হলো N
৪. স্বাভাবিক সংখ্যা কত প্রকার ও কিকি?
উত্তরঃ স্বাভাবিক সংখ্যা দুই প্রকারঃ (ক) মৌলিক সংখ্যা (খ) যৌগিক সংখ্যা
৫. মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ যে সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র সেই সংখ্যা এবং ১ ব্যতিত অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় না তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
৬. তিনটি মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ দাও?
উত্তরঃ তিনটি মৌলিক সংখ্যা হলো-২,৩,৫
৭. যৌগিক সংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ যে সব সংখ্যা সেই সংখ্যা এবং ১ ছাড়াও অন্য সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় সেই সব সংখ্যাকে যৌগিক সংখ্যা বলে।
৮. জোড় সংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ ২ দ্বারা বিভাজ্য সকল সংখ্যাকে জোড় সংখ্যা বলে।
৯.মুলদ সংখ্যা কাকে বলে?[জাবিঃ২০১৬,২০১৭]
উত্তরঃ যে সব সংখ্যা দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না সেগুলিকে অমুলদ সংখ্যা বলে।
১০. বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে?
উত্তরঃ সকল মূলদ এবং অমুলদ সংখ্যাকে এক সাথে বাস্তব সংখ্যা বলে।
১১. স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম সংখ্যা কত?
উত্তরঃ স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১ এর বৃহত্তম কোন সংখ্যা নেই।
১২. কাল্পনিক সংখ্যার প্রতিক কি?
উত্তরঃ কাল্পনিক সংখ্যার প্রতীক হলো i=√-1
১৩. ৫ কেন মৌলিক সংখ্যা?
উত্তরঃ ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা কারন ৫ এর গুননীয়ক শুধু মাত্র ১ এবং ৫।
১৪. স্বাভাবিক সংখ্যার সেট লিখ?
উত্তরঃ স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1,2,3,4,5,6,7……n}
১৫. 1+i জটিল সংখ্যার মডুলাস কত?
উত্তরঃ 1+i কে A+iB এর সাথে তুলনা করে পাই A=1 এবং ব=১
১৬. ঋণাত্বক পূর্ণ সংখ্যার সেট লিখ?[জাবিঃ ২০১২]
উত্তরঃ I = {-1,-2,-3,-4………..}
17. জটিল সংখ্যার আকার টি লিখ।[জাবিঃ ২০১১,২০১৭]
উত্তরঃ a এবং b দুটি বাস্তব সংখ্যা হলে জটিল সংখ্যার আকার হবে a±ib.
২. সংখ্যা পদ্ধতি বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ গণিত শাস্ত্রের মূল ভিত্তি হলো সংখ্যা সভ্যতার শুরুতে মানুষের প্রয়োজনেই সংখ্যার ধারনা সৃষ্টি হয়। সংখ্যা কে বাদ দিয়ে শুধু গণিত নয়। আধুনিক বিজ্ঞান, ব্যবসায়-বাণিজ্য উন্নতি ও বিকাশ কোন ভাবেই সম্ভব নয়।
সংখ্যা পদ্ধতি বলতে বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা প্রতিক অথবা সংখ্যা উপস্থাপনের চিত্র এবং ব্যবহারের নীতি মালায় সমষ্টিগত রূপকে বুঝায়।
যেমনঃ যোগ গুণ, বিয়োগ এবং ভাগের ক্ষেত্রে সংখ্যার প্র্যোজনীয়তা ব্যপক। সংখ্যা পদ্ধতি বলতে একদিন শুধু প্রতিকের মাধ্যমে ব্যখ্যা বুঝানো হতো, কিন্তু বর্তমান দর্শন ও ধারনা ব্যপক।
৩. মূলদ এবং অমুলদ সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য দেখাও।[জাবিঃ২০১৭,২০১২]
উত্তরঃ মুলদ এবং অমুলদ সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নিন্মরূপঃ
(১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
মূলদ সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে শুণ্য ব্যাতীত যে কোন দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভাগফল রূপে প্রকাশ করা যায়, তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
অমুলদ সংখ্যাঃ যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভাগফল রূপে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
(২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
দশমিক সংখ্যার সৃষ্টি।
মূলদ সংখ্যাঃ মূলদ সংখ্যা পৌনঃ পূণিক দশমিক সংখ্যার সৃষ্টি করে।
অমুলদ সংখ্যাঃ অমূলদ সংখ্যা অপৌনঃ পুনিক দশমিক সংখ্যার সৃষ্টি করে।
(৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
অসীমাবদ্ধ দশমিক সংখ্যার সৃষ্ট।
মূলদ সংখ্যাঃ মূলদ সংখ্যা ধনাত্নক ও ঋণাত্নক সীমাবদ্ধ এবং অসীমাবদ্ধ দশমিক সংখ্যার সৃষ্টি করে।
অমুলদ সংখ্যাঃ অমুলদ সংখ্যা ঋণাত্নক ও ঋনাত্নক অসীমাবদ্ধ দশমিক সংখ্যার সৃষ্টি করে।
(৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংখ্যার সঠিক মান নির্নয়।
মূলদ সংখ্যাঃ মূলদ সংখ্যার সঠিক মান নির্ণয় করা সম্ভব।
অমুলদ সংখ্যাঃ অমূলদ সংখ্যার সঠিক মান নির্ণয় করা যায় না।
(৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদাহরণ।
মূলদ সংখ্যাঃ ০, ১,১/২ ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
অমুলদ সংখ্যাঃ √2, √7, r, e ইত্যাদি অমুলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ
2 কে বর্গ করলে 4,3 কে বর্গ করলে 9 এবং √5 কে বর্গ করলে 5 পাওয়া যায়। সুতরাং √5, 2 থেকে বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।
অতএব, √5 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
যদি √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
√5=p/q, যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, q>1 এবং q, q সহমৌলিক সংখ্যা।
বা, 5 =
বা, 5p =
সুতরাং
√5 এর মান p/q আকারের কোন সংখ্যাই হতে পারে না।
অতএব, √5 একটি অমুলদ সংখ্যা।
৫.√2 একটি অমূলদ সংখ্যা। [জাবিঃ ২০০৬,২০০৮,২০০৯,ফিঃ-২০১৫, হিঃবিঃ-২০১৫,২০১৬২০১০,ব্যবঃ২০১৭, মাঃ২০১৭]
সমাধানঃ
1 কে বর্গ করলে 1,2 কে বর্গ করলে 4 এবং √2 কে বর্গ করলে 2 পাওয়া যায়। সুতরাং √2, 1 থেকে বড় কিন্তু 2 থেকে ছোট।
অতএব, √2 পূর্ণ সংখ্যা নয়। যদি √2 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
√2=p/q, যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, q>1 এবং q, q সহমৌলিক সংখ্যা।
বা, 2 =
বা, 2p =
সুতরাং
√2 এর মান p/q আকারের কোন সংখ্যাই হতে পারে না।
অতএব, √2 একটি অমুলদ সংখ্যা।
6. √7 একটি অমূলদ সংখ্যা। [জাবিঃ ২০০৭,২০১০]
সমাধানঃ
2 কে বর্গ করলে 4,3 কে বর্গ করলে 9 এবং √7 কে বর্গ করলে 7 পাওয়া যায়। সুতরাং √7, 2 থেকে বড় কিন্তু 3 থেকে ছোট।
অতএব, √7 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
যদি √7 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
√7=p/q, যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, q>1 এবং q, q সহমৌলিক সংখ্যা।
বা, 7 =
বা, 7p =
সুতরাং
√7 এর মান p/q আকারের কোন সংখ্যাই হতে পারে না।
অতএব, √7 একটি অমুলদ সংখ্যা।
সূচক করণী।
Indices and Surds.
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
১. সুচক অর্থ কি?
উত্তরঃ ঘাত।
২. সুচক ধারা কি?[জাবিঃ ২০১৬]
উত্তরঃ e এর বিস্তৃতিকে সূচক ধারা বলে।
৩. সূচক অপেক্ষক কি?
উত্তরঃ কোন অপেক্ষকের স্বাধীন চলকটি সূচকের প্রকাশিত হলে তাকে সূচক অপেক্ষক বলে।
৪. অপেক্ষক কি?
উত্তরঃ যখন কোন স্বাধীন ও নির্ভরশীল চলকের মাধ্যকার সম্পর্ককে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা হয় তখন তাকে অপেক্ষক বলে।
৫. করণী কাকে বলে?
উত্তরঃ যে কোন মূলদ সংখ্যার অমূলদ মূলকেই করণী বলে।
৬.মিশ্র করণী কি?
উত্তরঃ সহগ সম্বলিত করণীকে মিশ্র করণী বলে।
৭. মূলদীকরণ কাকে বলে?
উত্তরঃদুটো করণীর গুণফল যদি মূলদ সংখ্যা হয় তবে ঐ গুনের প্রক্রিয়াটিকেই মূলদীকরণ বা বলা হয়।
৮. মিশ্র করণী মূল/ বর্গ্মূল নির্নয়ের পদ্ধতি কয়টি ও কি কি?
উত্তরঃ দুটি পদ্ধতি আছে-(ক) অনুসন্ধান পদ্ধতি, (খ) সাধারণ পদ্ধতি।
লগারিদম
Logaridoms.
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
০১. লগারিদম কাকে বলে?[জাবিঃ ২০১৭]
উত্তরঃ কোন সংখ্যার লগারিদম বলতে প্রদত্ত ভিত্তিকে যে ঘাত বা সূচকে উন্নিত করলে ঐ সংখ্যার সমান হয় সেই ঘাত সুচকেই ঐ সংখ্যার লগারিদম বলে।
০২. লগারিদম অপেক্ষক কি?
উত্তরঃ কোন নির্ভরশীল চলকের মান যখন লগ সম্বলিত স্বাধীন চলকের অপেক্ষক হিসাবে প্রকাশিত হয় তখন তাকে লগারিদম অপেক্ষক বলে।
০৩. লগারিদমের দুটি বৈশিষ্ট্য উল্ল্যেখ কর?
উত্তরঃ (a) যে কোন ভিত্তিতে log , 1 এর মান শুন্য হবে।
(b) যে কোন সংখ্যার লগারিদমের ক্ষেত্রে সংখ্যা ও ভিত্তি একই হলে তার মান হবে, 1 (এক)।
০৩. প্রতি লগারিদম বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ কোন সংখার লগারিদমের মান যদি x হয় তাহলে x এর প্রতি লগ (anti log) হবে ঐ সংখ্যা টি।
০৪. e ভিত্তিক লগ কে আবিস্কার করেন।
উত্তরঃ Jone Napier
05. logaˆ1 এর মান কর?[জাবিঃ২০১২]
উত্তরঃ ০
০৬.
উত্তরঃ 1
০২. সাধারণ লগারিদম ও প্রকৃত লগারিদমের মধ্যে পার্থক্য দেখো? [জাবিঃ মাঃ২০১৪, ফিঃ ২০১৭]
উত্তরঃ নিন্মে সাধারন লগারিদম ও প্রাকৃতিক লগারিদমের মধ্যে পার্থক্য দেখানো হলোঃ
(০১)পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞাঃ
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ যদি কোন লগারিদম বা লগ এর ভিত্তি e হয় তবে তাকে প্রাকৃতিক লগারিদম না e ভিত্তিক লগারিদম বলে।
সাধারণ লগারিদমঃ যদি কোন লগারিদমের ভিত্তি ১০ হয় তবে তাকে সাধারন লগারিদম বলে।
(০২)পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদ্ভাবক
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ প্রাকৃতিক লগারিদম এর উদ্ভাবক বা আবিস্কারক হলেন “john Napier.”
সাধারণ লগারিদমঃ সাধারণ লগারিদম এর উদ্ভাবক হলেন “ Henry Briggs.”
(০৩)পার্থক্যের বিষয়ঃ
সময়
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ এটি প্রথম আবিস্কার হয় ১৫৫৭ থেকে ১৬১০ এর মধ্যে।
সাধারণ লগারিদমঃ এটি প্রথম আবিস্কার হয় ১৫৬১ থেকে ১৬৩০ এর মধ্যে।
(০৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
লেখার পদ্ধতি
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ প্রাকৃতিক লগারিদমকে লিখতে হয় ln দ্বারা। যেমনঃ ln x
সাধারণ লগারিদমঃ সাধারণ লগকে লিখতে হয় log দ্বারা। যেমনঃ log y
(০৫)পার্থক্যের বিষয়ঃ
ভিত্তি
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ প্রাকৃতিক লগারিদম এর ভিত্তি e
সাধারণ লগারিদমঃ সাধারণ লগারিদমের ভিত্তি 10.
(০৬)পার্থক্যের বিষয়ঃ
বিকল্প নাম।
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ প্রাকৃতিক লগারিদম এর বিকল্প নাম Napier logarithum.
সাধারণ লগারিদমঃ সাধারণ লগারিদমের বিকল্প নাম Briggs logarithum.
(০৭)পার্থক্যের বিষয়ঃ
ব্যবহারের ক্ষেত্র
প্রাকৃতিক লগারিদমঃ যে কোন ধরণের তাত্ত্বিক গণনা মূলক কাজে এটি ব্যবহার করা হয়।
সাধারণ লগারিদমঃ যে কোন সাধারণ গননার কার্য ক্ষেত্রে এটি ব্যবহার করা হয়।
০৪. লগারিদমের সংগা দাও।
উত্তরঃকোন সংখ্যার লগারিদম বলতে প্রদত্ত ভিত্তিকে যে ঘাত বা সুচকে উন্নীত করলে ঐ সংখ্যার সমান হয় সেই ঘাত বা সূচককে বুঝায়।
যেমিনঃ
০৫. লগারিদম বৈশষ্ঠ্য সমুহ লিখ?
উত্তরঃ যে কোন সংখ্যার ভিত্তিতে কোন সূচক এ উন্নীত করা হলে সেটি যে রাশির সমান হয় ঐ সূচকেই সেই রাশির সংশ্লিষ্ট ভিত্তির লগারিদম বলা হয়। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য সমুহ নিন্মরূপঃ
(ক) লগারিদমের ক্ষেত্রে যদি লগের সংখ্যা এবং ভিত্তি একই থাকে তবে তার মান হবে সর্বদাই 1।
(খ) ভিত্তি যাই হোক না কেনো 1 এর লগারিদম সর্বদা 0 হবে।
(গ) যে কোন দুটি পৃথক সংখ্যার গুনফলের লগারিদম হবে তাদের লগারিদমের সমষ্টির সমান।
(ঘ) একই ভিত্তিতে দুটি পৃথক সংখ্যার ভাগফলের লগারিদম হবে সংখ্যা দুটির লগারিদমের বিয়োগফলের বা অন্তর ফলের সমান।
(ঙ) যে কোন নির্দিষ্ট সূচক বা ঘাত বিশিষ্ট সংখ্যার লগারিদম হবে ঐ সূচক এবং লগারিদম এর গুনফলের সমান।
(চ) যে কোন ভিত্তিতে log0=∞ হবে।
(ছ) উচ্চতর গণিতে পরিসংখ্যানে এবং ফলিত পদার্থ বিদ্যায় বহু সমস্যা log এর মাধ্যমে সহজে সমাধান করা হয়।
০৬. সাধারণ লগারিদমের পূর্ণক ও অংশক বলতে কি বোঝায়?
উত্তরঃ লগারিদমের পূর্ণকঃ যে কোন সংখ্যার লগারিদম দুটি অংশের সমন্বয়ে গঠিত যার অংশ পূর্ণ সংখ্যায় এবং অপরটি ভগ্নাশের সমন্বয়ে গঠিত যার একটি অংশ পূর্ণ সংখ্যায় এবং অপরটি ভগ্নাংশে । এ পূর্ণ সংখ্যার অংশকে সাধারণ লগারিদমের পূর্ণক বা Characteristic বলা হয়। উদাহরণ সরূপ বলা যায়, ৪১৬২ সংখ্যাটিকে লগারিদম করলে পাওয়া যায় log 4162 = 3.6193। এখানে পূর্ণ সংখ্যা ৩ এবং ভগ্নাংশ 0.6193. অতএব 3 – ই হচ্ছে 4162- এর সাধারণ লগারিদমের পূর্ণক।
লগারিদম অংশকঃ একটি সংখ্যার লগারিদমের দুটি অংশ থাকে। এ দুটি অংশের ধনাত্বক ভগ্নাংশকে সাধারণ লগারিদমের অংশক বলা হয়।
যেমনঃ 4162- এর লগারিদম হচ্ছে log4162 = 3.6193. এখানে ধনাত্বক ভগ্নাংশ হচ্ছে 0.6193.
লগারিদমের পূর্ণক ঋণাত্বক হতে পারে যা সংখ্যার দশমিকের উপর নির্ভরশীল কিন্তু অংশক কখনও ঋণাত্বক হবে না। কারন অংশক দশমিকের উপর নির্ভরশীল নয়।
অর্থায়নে গণিত।
Mathematics of Finance.
১. আধুনিক ব্যবসায় শিক্ষায় অর্থায়নে গণিতের গুরুত্ব।
ভুমিকাঃ অর্থের সময়মূল্য বিষয়ক ধারনাটি বর্তমানে ব্যবসায় জগতে খুবই গুরূত্বপূর্ণ। আর যে কোন শিল্প প্রতিষ্ঠানের জন্য ভবিষ্যৎ নগদ প্রবাহের মূল্যায়ন , অর্থসংস্থান ও ঋণ মূল্ধনের প্রকৃত ব্যয় নির্ধারণ, প্রকল্প বাছাইকরণ ইত্যাদি সিদ্ধান্ত গ্রহণে অর্থের সময় মূল্যের ধারনার প্রয়োগকেই অর্থায়নে গণিত বা Mathematics of finance বলে।
বর্তমান/ আধুনিক ব্যবসায় শিক্ষায় অর্থায়নে গণিতের গুরুত্ব / প্রয়োজনীয়তাঃ বর্তমান ব্যবসায় জগত অত্যন্ত প্রতিযোগিতা পূর্ণ। এই প্রতিযোগিতে পূর্ণ ব্যবসায় জগতে সঠিক ভাবে অর্থের উৎস, নির্বাচন অর্থ বিনিয়োগ করণ, লাভ লোকসান নির্ণয়, ইজারা ও ক্রয় সংক্রান্ত সিদ্ধান্ত গ্রহন, ঋণের কিস্তি নির্ণয়, প্রতিপূরক তহবিল নির্ধারিণ ইত্যাদি ক্ষেত্রে অর্থায়নে গণিতের প্রয়োগ সংক্রান্ত জ্ঞান অতীব জরুবি। নিন্মে বিভিন্ন ক্ষেত্রে অর্থায়নে গণিতের গুরুত্ব বর্ণনা করা হলো।
(০১) ঋণের কিস্তি নির্ধারণঃ যে কোন ব্যবসায়ের জন্য ঋণ মূলধন অপরিহার্য উৎস। আর এই ঋণ গ্রহনের জন্য ঋণের সঠিক কিস্তি জানা জরুরি। এই ক্ষেত্রে অর্থায়নে গণিতের জ্ঞান থাকা জরূরি।
(০২) প্রকল্প মূল্যায়ন এবং নির্বাচনঃ কোম্পানির মূলধন বিনিয়োগ করার জন্য সঠিক বা কাম্য প্রকল্প নির্বাচল জরুরি। এই ক্ষেত্রে NPV এবং PBR সংক্রান্ত জ্ঞান সঠিক প্রকল্প নির্বাচনে সহায়তা করে।
(০৩) প্রকল্প প্রকৃত আয় পরিমাপঃ শিল্প প্রতিষ্ঠানের স্থায়িত্বের জন্য বিনিয়োজিত প্রকল্প থেকে প্রকৃত আয় নির্ধারণ/ পরিমাপ করা অত্যন্ত জরুরি। আর মুদ্রাস্ফীতি প্রকল্পের প্রকৃত আয়কে প্রতিনিয়ত পরিবর্তন করে। তাই অর্থায়নে গণিতের জ্ঞান প্রয়োগ করে প্রকল্পের প্রকৃত আয় পরিমাপ করা দরকার।
(০৪) মূলধন ব্যায়ঃ অর্থ সংস্থানের সঠিক উৎস সঠিকভাবে নির্বাচন করতে না পারলে প্রতিষ্ঠানের পক্ষে কাম্য মুনাফা নির্ধারণ করা সম্ভব হয় না। সে জন্য অর্থায়নে গণিতের জ্ঞান প্রয়োগ করে মূলধন ব্যয় সঠিক ভাবে জানা প্রয়োজন।
(০৫) কার্যকরী সুধের হার নির্ণয়ঃ অনেক ক্ষেত্রেই একই বছরে একাধিক বার সুদ গণনা করা হয়। যেমন – তৈমাসিক দ্বিবার্ষিক মাসিক ইত্যাদি। এক্ষেত্রে প্রকৃত বা অর্থকারী সুদের হার কত হবে তা জানতে অর্থায়নে গণিতের জ্ঞান থাকা অত্যাবশ্যক।
*******
০২. অর্থের বর্তমান মুল্য ও ভবিষ্যৎ মূল্যের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ নিন্মে অর্থের বর্তমান মুল্য ও ভবিষ্যৎ মূল্যের মধ্যে পার্থক্য দেখানো হলো।
(০১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
বর্তমান মূল্যঃ ভবিষ্যতে প্রাপ্য কোনো নির্দিষ্ট পরিমান অর্থ নির্দিষ্ট সুদের হারে বাট্টা করে যে মূল্য পাওয়া যায়, তাকেই অর্থের বর্তমান মূলয় বলে।
ভবিষ্যত মূল্যঃএকটি নির্দিষ্ট পরিমান অর্থ নির্দিষ্ট সময় পরে নির্দিষ্ট সুদের হারে সুদে আসলে যে পরিমান হয়, তাকে অর্থের ভবিষৎ মূল্য বলে।
(০২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
ব্যবহার।
বর্তমান মূল্যঃ ভবিষতে টাকার বর্তমান মূল্য কত তা নির্ণয়ের জন্য বর্তমান মূল্য ধারণা প্রয়োগ করা হয়।
ভবিষ্যত মূল্যঃ বর্তমান অর্থ নির্দিষ্ট সুদে জমা রাখলে সুদে আসলে কত হবে তা নির্ণয়ে ব্যবহার করা হয়।
(০৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
পদ্ধতি
বর্তমান মূল্যঃ বর্তমান মূল্য নির্ণয়ের পদ্ধতিটি হলো Discounting method.
ভবিষ্যত মূল্যঃ ভবিষ্যৎ মূল্য নির্ণয় পদ্ধতিটি হচ্ছে compounding mrthod.
(০৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সুদের হার
বর্তমান মূল্যঃ সুদের হার যত বেশি হবে বর্তমান মূল্য তত কম হবে।
ভবিষ্যত মূল্যঃ সুদের হার যত বেশি হবে ভবিশ্যৎ মূল্য ততই বেশি হবে।
(০৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
পণ্যের মূল্যমান।
বর্তমান মূল্যঃ পন্যের মূল্য বৃদ্ধি পায়।
ভবিষ্যত মূল্যঃ পণ্যের মূল্যমান হ্রাস পায়।
*******
০৩.সরল সুদ ও চক্র বৃদ্ধি সুদের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ নিন্মে সরল সুদ ও চক্র বৃদ্ধি সুদের মধ্যে পার্থক্য নিচে দেয়া হলো।
(০১) সরল সুদঃ শুধুমাত্র প্রতি বছর আসল টাকার উপর সুদ হিসাব করাকে সরল সুদ বলা হয়।
চক্রবৃদ্ধি সুদঃ প্রতি বার সুদাসলের উপর সুদ হিসাব করাকে চক্রবৃদ্ধি সুদ বলা হয়।
(০২) সরল সুদঃ সরল সুদের বেলায় বিনিয়োগকৃত আসল সর্বদাই অপরিবর্তিত থাকে।
চক্রবৃদ্ধি সুদঃচক্রবৃদ্ধির বেলায় আসলের সাথে সুদ যোগ করে পরবর্তী সময়ের আসল নির্নয় করা হয়।
(০৩) সরল সুদঃ সুদ নির্ণয়ের সূত্রঃ i=p´m
চক্রবৃদ্ধি সুদঃ সুদ নির্ণয়ের সূত্রঃ I =
(০৪) সরল সুদঃ সরল সুদ নির্ণয় করা বেশ সহজ।
চক্রবৃদ্ধি সুদঃ চক্র বৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করা অপেক্ষাকৃত কঠিন।
(০৫) সরল সুদঃ সরল সুদের ক্ষেত্রে কার্যকরী সুদের হার থাকে না।
চক্রবৃদ্ধি সুদঃ চক্র বৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে কার্যকরী সুদের হার করা যেতে পারে।
**********
৪. নামিক সুদের হার ও কার্যকরী সুদের হারের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ
(০১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা।
নামিক সুদের হারঃ চক্রবৃদ্ধি সুদের গননার জন্য যে বার্ষিক সুদের হার ব্যবহার করা হয় তাই নামিক সুদের হার।
কার্যকরী সুদের হারঃ ঋণ গ্রহীতাকে প্রকৃত পক্ষে যে সরল সুদের হারের সমান সুদ প্রদান করতে হয় তাকে কার্যকরী সুদের হার বলে।
(০২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
নাম।
নামিক সুদের হারঃ একে বাৎসরিক সুদের হার বা বর্ণিত সুদের হার নামে অভিহিত করা হয়।
কার্যকরী সুদের হারঃ এই হারকে প্রকৃত সুদের হার নামেও অভিহিত করা হয়ে থাকে।
(০৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
ব্যবহার।
নামিক সুদের হারঃ কার্যকরী সুদের হার গণনায় এই সুদের হার ব্যবহার হয়।
কার্যকরী সুদের হারঃ ঋণের বা ধার করা অর্থের প্রকৃত খরচ নির্ণয়ে এই হার ব্যবহার করা হয়।
(০৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সুদের হারের পরিবর্তন
নামিক সুদের হারঃ বার্ষিক সুদের হারের কোন পরিবর্তন হয় না।
কার্যকরী সুদের হারঃ সুদ যতবেশি বার গণনা করা হয় সুদের হার তত বেশি বাড়তে থাকে এবং বিপরীত।
(০৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
প্রয়োজনীয়তা।
নামিক সুদের হারঃ পূর্বে নির্ধারিত বিষয় আর নতুন করে সুদের হার নির্ণয়ের প্রয়োজন হয় না।
কার্যকরী সুদের হারঃ প্রতিটি ঋনের ক্ষেত্রেই নতুন করে এই হার গণনা করতে হয়।
সরল সমীকরণ।
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
০১. সরল রেখা কাকে বলে?
উত্তরঃ দুই বিন্দুর মধ্যে সর্বনিন্ম দূরত্ব যে রেখা দ্বারা প্রকাশ করা হয় তাকে সরল রেখা বলা হয়।
০২. দুইটি সরল রেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত কি?
উত্তরঃ যদি প্রথম রেখার ঢাল m1 এবং দ্বিতীয় রেখার ঢাল m2 হয় তাহলে দুটি সরল রেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো
m1m2=-1
০৩. একটি মূল বিন্দুগামী সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ কী?[nu-2010]
উত্তরঃ একটি মূল বিন্দুগামী সরল রেখার সমীকরণ y = mx
০৪. একটি সরল রেখার সমীকরণের ঘাত কত?
উত্তরঃ একটি সরল সমীকরণের ঘাত=১।
০৫. কত ঘাত বিশিষ্ট একটি সমীকরণ সরল রেখা বির্দেশ করে?[জাবিঃ ২০১০]
উত্তরঃax+by+c=0 represents linear equation which degree is 1.
০৬. স্থানাংক জ্যামিতির উদ্ভাবক/ আবিস্কারক কে?
উত্তরঃ Renatus Cartesius.
০৭. স্থানাংক কাকে বলে?
উত্তরঃ সংক্ষেপে স্থানাংক হচ্ছে একটি সমতলে কোন বিন্দুর অবস্থান নির্দেশক দুটি সংখ্যা।
০৮.ভুজ কি?
উত্তরঃ কোন সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর x কে ভুজ বলে।
০৯. কোটি কি?
উত্তরঃ কোন সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর y কে বলে কোটি।
১০. মূল বিন্দু কাকে বলে?
উত্তরঃ অক্ষরেখা দুটি যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকেই মূলবিন্দু বলে।
১১. সরল রেখার ঢাল কাকে বলে?[জাবিঃ২০১৬]
উত্তরঃ কোন সরল রেখা x অক্ষের ধনাত্বক দিকে যে কোন উৎপন্ন করে তার ত্রিকোনমিত্তিক ট্যাঞ্জেন্টকে ঐ সরল রেখার ঢাল বলে।
১২. সমীকরণ কাকে বলে?
উত্তরঃ দুটি বীজ গাণীতীয় বিবৃতির মধ্যে = চিহ্ন দ্বারা প্রকাশিত সম্পর্ককে সমীকরণ বলে।
১৩. সমীকরণের মাত্রা কাকে বলে?
উত্তরঃ কোন সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাত/ শক্তি সূচক (Power) কে ঐ সমীকরণের মাত্রা বলে।
১৪. সমীকরণ প্রধানত কত প্রকার?
উত্তরঃ সমীকরণ প্রধানত তিন প্রকারঃ
যথাঃ (১) এক ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ
(২) দ্বিঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ
(৩) ত্রিঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ
১৫. সরল সমীকরণ কি?
উত্তরঃ যে সমীকরণে এক ঘাত বিশিষ্ট এক বা একাধিক চলক থাকে তাকেই সরল সমীকরণ বলে।
১৬. অভেদ কী?
উত্তরঃ যে সব সমীকরণে চলকের যে কোন মান দ্বারা উভয় পার্শকে সমান দেখানো যায় তাদের কে অভেদ বলে।
***********
২. কিভাবে একটি অপেক্ষক থেকে ঢাল নির্ণয় করা যায়?
উত্তরঃ ফাংশনের ক্ষেত্রে ব্যক্ত ফাংশনের স্বাধীন চলকের সহগকে ঢাল বলে?
যেমনঃ y=mx+c
একটি অব্যক্ত ফাংশন। ইহার স্বাধীন চলক x এর সহগ হবে m
সুতরাং m হলো রেখাটির ঢাল। অনুরুপ ভাবে 3x-y+5 = 0 ফাংশনটি ব্যক্ত ফাংশনে পরিনত করলে দাঁড়ায়;
y=-3x+5 এ ব্যক্ত ফাংশনটির স্বাধীন চলক x এর সহগ -3 কে ঐ রেখাটির ঢাল বলে।
*******
৩. অভেদ ও সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ নিম্নে অভেদ ও সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য দেখানো হলো।
(০১) পার্থক্যের বিষয়ঃ
সংজ্ঞা
সমীকরণঃ দুটি চলক সম্বলিত বীজ গণিতীয় রাশি সমান (=) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত হলে ঐ রাশিদ্বয়ের সমতা জ্ঞাপক সম্বন্ধটিকে সমীকরণ বলে?
অভেদঃ কোন সমীকরণের যত গুলো চলক থাকে তার যে কোন মান যদি উভয় পক্ষকে সমান করে তবে সেই সমীকরণকে অভেদ বলে।
(০২) পার্থক্যের বিষয়ঃ
চলকের মান
সমীকরণঃ নির্দিষ্ট এক বা একাধিক মান দ্বারা সমীকরণ সত্য হয়।
অভেদঃ এক্ষেত্রে যত গুলো চলক থাকুক না কেন, তার যে কোন মান দ্বারা উভয় পক্ষ সমান হবে।
(০৩) পার্থক্যের বিষয়ঃ
উদাহরণ
সমীকরণঃ 2x-7=x+2 সমীকরণটি সত্য হবে যদি x=9 হয় অন্যথায় নয়।
অভেদঃ
(০৪) পার্থক্যের বিষয়ঃ
ব্যবহার
সমীকরণঃ অজ্ঞাত রাশির মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
অভেদঃ বীজ গণিতের সূত্র হিসাবে ব্যবহার হয়।
(০৫) পার্থক্যের বিষয়ঃ
চিহ্ন
সমীকরণঃ সমতা প্রকাশে = চিহ্ন ব্যবহার করা হয়ে থাকে।
অভেদঃ অভেদ প্রকাশে º চিহ্ন ব্যবহার করা হয়ে থাকে।
(০৬) পার্থক্যের বিষয়ঃ
মূলসংখ্যা
সমীকরণঃ ঘাতের সমান সংখ্যা সমাধান থাকবে।
অভেদঃঘাত সংখ্যার চেয়ে অধীক মূল থাকতে পারে।
*******
৪. দুটি সরল রেখা পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত সমুহ কি কি?
উত্তরঃ দুটি সরল রেখা সর্বদা নিজেরদের মধ্যে সমান লম্ব দুরত্ব বজায় রেখে থাকলে সরল রেখা দুটি পস্পর সমান্ত্রাল হয়। দুটি সরল্রেখা পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত সমুহ নিন্মে উল্ল্যেখ করা হলো।
(০১) সরল রেখা দুটির মধ্যে সমান লম্ব দুরত্ব থাকতে হবে।
(০২) দুটি সরল রেখার ঢাল/ সুচক একই থাকতে হবে।
(০৩) সরল রেখা দ্বয়ের ধ্রুবক সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে।
*****
দ্বিঘাত সমীকরণ।
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
১. দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে?[জাতিঃ ২০১৭]
উত্তরঃ যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত দুই তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
২.দ্বিঘাত সমীকরণের মূলরূপটি কি?
উত্তরঃ
৩. সমরেখ হওয়ার শর্ত কি?
উত্তরঃ সমরেখ হওয়ার শর্ত হলো ক্ষেত্রফল শুণ্য হতে হবে।
৪. একটি সরল রেখা মূল বিন্দু দিয়ে গমন করে এবং তার m রেখাটির সমীকরণ কত?[জাবিঃ২০১১]
উত্তরঃ y=mx
৫. দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল?
উত্তরঃ –a/b
৬. দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দ্বয়ের গুনফল ?
উত্তরঃ c/a
২. দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কি বুঝ? দ্বিঘাত সমীকরণ কত প্রকার কি কি?
উত্তরঃ কোন সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির শক্তি বা ঘাত সর্বোচ্চ দুই থাকলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। যেমিনঃ
(১)
দ্বিঘাত সমীকরণ আবার দুই প্রকার।
যথঃ (১) অমিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণঃ যে দ্বিঘাত সমীকরণে এক ঘাত বিশিষ্ট কোন অজ্ঞাত রাশি নেই তাকে অমিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। যেমন-
(২) মিশ্র দ্বিঘাত সমিকরণঃ যে দ্বিঘাত সমীকরণে এক ঘাত বিশিষ্ট অজ্ঞাত রাশির পাশা পাশি দুই ঘাত বিশিষ্ট অজ্ঞাত রাশির মান থাকে তাকে মিশ্র দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
যেমনঃ
[এই অধ্যায় থেকে বড় প্রশ্ন আসে না। পরীক্ষায় শুধু অংকই থাকে।]
******
বিন্যাস সমাবেশ
permutations and combinations
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
১. বিন্যাস কাকে বলে?
উত্তরঃ বিভিন্ন বস্তু থেকে কয়েকটি অথবা সবগুলোকে একত্রে নিয়ে ক্রমানুসারে সম্ভাব্য যত রকমে সাজানো যায় তাদের প্রতিটিকে এক একটি বিন্যাস বলে।
২. সমাবেশ কি?
উত্তরঃ বিভিন্ন জিনিসের মধ্যে থেকে কয়েকটি বা সবগুলোকে প্রত্যেকবার নিয়ে ক্রম না মেনে যতগুলি দল গঠন করা যায় তাদের প্রতিটিকে এক একটি সমাবেশ বলে।
বৃত্তীয় অপেক্ষক ও ত্রিকোনমিতি।
Circular Function and Trigonomettry.
১. Trigonometry কোন শব্দ হতে উৎপত্তি লাভ করছে?
উত্তরঃ দুটি গ্রিক শব্দ trigono এবং Metron থেকে এসেছে।
২. রেডিয়ান কি?
উত্তরঃ বৃত্তের ব্যসার্ধের সমান চাপ কেন্দ্রে যে কোন উৎপন্ন করে তাকেই রেডিয়ান কোন বলে।
৩. ২৭২ ডিগ্রী কোণ চতুর্থ ভাগে অবস্থান করে?
উত্তরঃ চতুর্থক চতুর্থ ভাগে অবস্থান করে।
৪. ১°ডিগ্রী = কত রেডিয়ান?
উত্তরঃ p/180 বা 0.0174533 রেডিয়ান।
৫. Sin(360°)=?
উত্তরঃ ½
৬. কত ডিগ্রী কোন Cos ও Sin অনুপাত সমান?
উত্তরঃ45° কোন প্রথম চতুর্থ ভাগে Cos ও Sin অনুপাত সমান। এর মান Sin° = Cos45°=1/2
৭. কোন ত্রিকোনমিতিক অনুপাত গুলো বিজোড় ফাংশন।
উত্তরঃ Sinq, cosecq, cotq, tanq অনুপাত গুলো বিজোড় ফাংশন।
[এই অধ্যায় থেকে বড় প্রশ্ন আসে না। পরীক্ষায় শুধু অংকই থাকে।]
************
অন্তরকলন
Differention calculus.
১. অন্তরক কি?
উত্তরঃ এক চলক বিশিষ্ট অপেক্ষকের অন্তরকলন কে অন্তরক বা derivative বলে।
২. অন্তরকলন কাকে বলে?
উত্তরঃ কোন অপেক্ষকের স্বধীন চলকের সামান্য বৃদ্ধি জনিত পরিবর্তনের ফলে পরাধীন চলকের যে পরিবর্তন ঘটে সেই পরিবর্তনের হার পরিমাপকে ই অন্তরকলন বলে।
৩. অপেক্ষকের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান কি?
উত্তরঃ কোন অপেক্ষকের লেখ চিত্র অংকন করলে যদি তার উপরিস্থ কোন বিন্দুতে অপরাপর বিন্দু অপেক্ষা উহার মান বেশি , যখন কোন অপেক্ষকের লেখ চিত্র অংকন করলে তার উপরিস্থ কোন বিন্দুতে অপরাপর বিন্দু অপেক্ষা উহার মান কম হয়, তখন তাকে উক্ত অপেক্ষকের সর্বনিম্ন মান বলা হয়।
৪. সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের শর্ত সমুহ কি কি্?
উত্তরঃ সর্বোচ্চ ও সর্বোনিম্ন মানের দুটি শর্ত। যথা (ক) প্রাথমিক শর্ত ও (খ) পর্যাপ্ত শর্ত।
নিম্নে শর্ত সমুহ আলোচনা করা হলো।
(ক) প্রাথমিক শর্তঃ প্রাথমিক শর্তানুযায়ী প্রথম পর্যায়ের অর্থৎ এর মান শুন্য হবে। অর্থৎ dx/dy=0 । এ শর্তানুসারে যে বিন্দুতে অপেক্ষকটির ঢাল শুন্য হয় সেখানেই সর্ব নিম্ন করন এর প্রাথমিক শর্ত পালিত হবে।
(খ) পর্যাপ্ত শর্তঃ সর্ব নিম্নকরণের পালিত ২য় শর্ত টি হল পর্যাপ্ত শর্ত। এ শর্তে বলা হয় যে 2nd order Differentiation এর মান হবে শুন্যের চেয়ে বড় বা বেশি।
শর্তানুসারে
[এই অধ্যায় থেকে বড় প্রশ্ন আসে না। পরীক্ষায় শুধু অংকই থাকে।]
*************
সমাকলন
Interration.
১. সমাকলন কাকে বলে।
উত্তরঃ সমাকলন হলো পাশাপাশি অবস্থানরত কত গুলো ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশ বা রাশির সমষ্টি।
২.সমাকলন অর্থ কি?
উত্তরঃ সমাকলন অর্থ যোগাফল।
৩. সমাকলন কত প্রকার?
উত্তরঃ সমাকলন দুই প্রকার যথাঃ (১) অনির্দিষ্ট সমাকলন ও (২) নির্দিষ্ট সমাকলন।
৪. ধ্রুবক কি?
উত্তরঃগাণিতিক প্রকৃয়ায় যেসব প্রতিকের মান সর্বদা একই থাকে তাদেরকেই ধ্রুবক বলে।
৫. প্যারামিটার কাকে বলে?
উত্তরঃ অজানা কোন ধ্রুবককেই প্যারামিটার বলে।
৬. পরম মান কাকে বলে?
উত্তরঃ ধনাত্বক চিহ্ন বিশিষ্ট মানকেই পরম মান বলে।
[এই অধ্যায় থেকে বড় প্রশ্ন আসে না। পরীক্ষায় শুধু অংকই থাকে।]
*******************
ম্যট্রিক্স
Matrix Algebra
সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর।
০১. ম্যট্রিক্স এর জনক কে?
উত্তরঃ কেইলে।
০২. ম্যাট্রিক্স এর সংজ্ঞা দাও?
উত্তরঃ দুই জোড়া বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ রাশি বা চলক সমুহের আয়তাকার প্রকাশ কেই ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স এর সংগা দাও।
উত্তরঃ যখন কোন ম্যাট্রিক্স এর সারি ও কলাম এর সংখ্যা সমান হয় তখন ঐ ম্যাট্রিক্স কে বর্গাকৃতি ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
৪. সিংগুলার ম্যাট্রিক্স কাকে বলে?
উত্তরঃ যে ম্যাট্রিক্স এর নির্নায়কের মান শুণ্য হয় তাকে সিংগুলার ম্যাট্রিক্স বলে।
৫. আইডেম পটেন্ট ম্যট্রিক্স কি?
উত্তরঃ যদি বর্গাকার কোন ম্যট্রিক্সে A এর ক্ষেত্রে
৬. শুণ্য বা Null ম্যট্রিক্স কাকে বলে?
উত্তরঃ কোন ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান ০ হলে তাকে শুণ্য ম্যট্রিক্স বলে।
৭. একক ম্যট্রিক্স কি?
উত্তরঃ যে ম্যট্রিক্সের কর্ণের সব গুলো উপাদান ১ এবং অন্য উপাদান গুলো শুন্য সেই ম্যট্রিক্সকে একক ম্যট্রিক্স বলে।
৮. রুপান্তরিত ম্যট্রিক্স কাকে বলে?
উত্তরঃ কোন ম্যাট্রিক্সের সারিগুলোর কলামে এবং কলাম গুলোকে সারিতে রুপান্তর করা হলে যে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে তাকে মূল ম্যট্রিক্সটির রুপান্তরিত ম্যট্রিক্স বা Transpose Matrix বলে।
৯. ত্রিভুজাকৃতি ম্যট্রিক্সের সংজ্ঞা দাও?
উত্তরঃ যে বর্গ ম্যট্রিক্সের প্রধান বর্ণের উপরে বা নিচের সবগুলো উপাদান শুণ্য হয় তাকে ত্রিভুজাকৃতি ম্যট্রিক্স বা Tringular Matrix বলে।
১০. আয়তকার ম্যাট্রিক্স কাকে বলে?
উত্তরঃ যে ম্যট্রিক্সের কলাম ও সারির সংখ্যা অসমান থাকে তাকে আয়তাকার ম্যাট্রিক্স বা Rectangular Matrix বলে।
১১. ম্যাট্রিক্সের ক্রম বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ কোন ম্যট্রিক্সের সারি এবং কলামের সংখ্যাকে উক্ত ম্যট্রিক্সের ক্রম বা অর্ডার বলে।
১২. সহগুনক / Co-factor বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ প্রতিটি অনুরাশির পূর্বে যখন যথাযথ চিহ্ন বসানো হয় তখন যে মান গুলি পাওয়া যায় তাকেই সহগুনক / Co-factor বলে।
১৩. ম্যট্রিক্সের র্যাংক বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ কোন ম্যট্রিক্সের অশুন্য অনুরাশির সর্বোচ্চ ক্রম যার নির্ণয়কের মান অশুণ্য হয় তাই ম্যট্রিক্সের র্যাংক।
১৪. কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি?
উত্তরঃ যদি কোন বর্গাকার ম্যাট্রিক্স এর প্রধান কৌনিক উপাদান গুলো ব্যতিত অন্যন্য সকল উপাদানই শুণ্য ০ থাকে তবে ঐ ম্যট্রিক্স কে কর্ণ ম্যট্রিক্স বলে।
***********
২. ম্যট্রিক্স ও নির্ণয়কের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ আপাত দৃষ্টিতে দেখলে মনে হয় ম্যট্রিক্স ও নির্নায়কের মধ্যে কোন পার্থক্য নাই। কিন্তু আসলে এদের মধ্যে বেশ কিছু পার্থক্য পরিলক্ষিত হয়। নিচে সেগুলো উল্ল্যেখিত হলো।
(১)ম্যাট্রিক্সঃ কতকগুলো সংখ্যাকে যদি সারি ও কলামে সাজিয়ে আয়তাকার বা বর্গাকার বিন্যাস পাওয়া যায় তবে এ ধরনের বিন্যাসকে ম্যাট্রিক্স বলে।
নির্নায়কঃ বাস্তব সংখ্যার উপাদান বিশিষ্ট কোন বর্গ ম্যট্রিক্সকে যখন বিশেষ পদ্ধতিতে অন্যন্য বাস্তব সংখ্যার সাথে অপেক্ষকের সম্পর্ক আবদ্ধ করা হয় তখন ঐ বাস্তব সংখ্যাকে নির্ণায়ক বলে।
(২) ম্যাট্রিক্সঃ ম্যাট্রিক্স আয়তাকার ও বর্গাকার যে কোন আকৃতিত হতে পারে।
নির্নায়কঃ নির্নায়ক সর্বদা বর্গাকার হয়ে থাকে।
(৩)ম্যাট্রিক্সঃ ম্যাট্রিক্স প্রথম বন্ধনী () না তৃতীয় বন্ধনী [ ] বা ডাবল বার দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
নির্নায়কঃ নির্নায়ক দুটি বার ½ ½ দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
(৪)ম্যাট্রিক্সঃ ম্যট্রিক্সের ক্ষেত্রে ইনভার্স নির্ণয় করা যায়।
নির্নায়কঃ নির্নায়কের ক্ষেত্রে ইনভার্স নির্ণয় করা যায় না।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে, ম্যট্রিক্স ও নির্ণয়কের মধ্যে মূল পার্থক্য হলো সংখ্যাকে সারি ও কলামে সাজিয়ে আয়তাকার বিন্যাস এবং বর্গ ম্যাট্রিক্স কে অন্য বাস্তব সংখ্যায় আবদ্ধ করা।
২. স্কেলার ম্যাট্রিক্স ও একক ম্যট্রিক্স এর মধ্যে পার্থক্য আলোচনা কর?
উত্তরঃ ভুমিকাঃ যখন কতিপয় সংখ্যাকে দুটি বন্ধনীর মাধ্যমে বিশেষ নিয়মে শ্রেণিবদ্ধ ভাবে সাজানো হয়। তখন তাকে ম্যাট্রিক্স বলে । কর্ণের উপাদানের ভিন্নতার কারনে ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য দেখা দেয়।
(১) স্কেলার ম্যট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপাদান গুলো শুণ্য ছাড়া একই রকম এবং অন্য সব উপাদান সমান তাকে স্কেলার ম্যট্রিক্স বলে।
একক ম্যট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপাদান গুলো এক এবং অন্যান্য উপাদান গুলো শূণ্য তাকে একক ম্যট্রিক্স বলে।
(২) স্কেলার ম্যট্রিক্সঃ অন্য কোনো ম্যট্রিক্স কে এ ম্যট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে ভিন্ন ম্যট্রিক্স পাওয়া যায়।
একক ম্যট্রিক্সঃ অন্য কোন ম্যট্রিক্স দ্বারা এ ম্যাট্রিক্সকে গুন করলে ম্যট্রিক্সটি পরিবর্তিত হয় না।
(৩) স্কেলার ম্যট্রিক্সঃ স্কেলার ম্যাট্রিক্সকে A দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
একক ম্যট্রিক্সঃ একক ম্যট্রিক্সকে I দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(৪) স্কেলার ম্যট্রিক্সঃ সব একক ম্যট্রিক্স স্কেলার ম্যট্রিক্স।
একক ম্যট্রিক্সঃ সব স্কেলার ম্যট্রিক্স একক ম্যাট্রিক্স নয়।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে, ম্যাট্রিক্সের কর্ণের উপাদানের ভিন্নতার কারনে ভিন্ন ধরনের ম্যট্রিক্স উৎপন্ন হয় এবং এর বৈশিষ্ট্যের মধ্যে ও কতিপয় পার্থক্য দেখা দেয়।
৩. ম্যট্রিক্স এর ব্যবহার আলোচনা কর?
উত্তরঃভুমিকাঃ ম্যট্রিক্স হলো বিভিন্ন সংখ্যাকে দুটি বন্ধনীর মাধ্যমে সারি ও স্তম্ভ সাজিয়ে আয়তাকার বা বর্গাকার বিন্যাস অর্থনীতি ও ব্যবসা বাণিজ্যের বিভিন্ন উপাদান বিশ্লেষনের ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স গুরুত্বপূর্ণ ভুমিকা রাখে।
ম্যাট্রিক্সের ব্যবহারঃ ম্যাট্রিক্স বিভিন্ন প্রকারের হয়ে থাকে। যেমনঃ শুণ্য ম্যাট্রিক্স, কর্ণ ম্যট্রিক্, একক ম্যট্রিক্স ইত্যাদি।
ম্যট্রিক্স যদিও গণিতের একটি অংশ তথাপি আধুনিক গণিতে এটি একটি অত্যন্ত শক্তিশালী হাতিয়ার বিশেষ। অর্থনীতি ও ব্যবসায় গণিতে ম্যাট্রিক্স ব্যবহার হয়ে থাকে। অর্থনীতির সমীকরণ গুলো বেশির ভাগ এক মাত্রার হয় বিধায় অর্থনীতিতে এর ব্যবহার অত্যন্ত লক্ষনীয়। তেমনি বাণিজ্যের বিভিন্ন ক্ষেত্র গুলোতেও ম্যট্রিক্সের ব্যবহার অনেক বেশি। কারন এর মাধ্যমে সমস্যা বা মডেল গুলোকে সংক্ষিপ্ত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করা যায় এবং এর সমাধান নির্নয় ও ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে করা যায়।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার ব্যাপক । ম্যাট্রিক্স অর্থনীতি ও ব্যবসায় গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।
৪. নির্নায়কের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য আলোচনা কর?
উত্তরঃ ভুমিকাঃ বাস্তব সংখ্যার উপাদান বিশিষ্ট কোন বর্গ ম্যাট্রিক্সকে যখন বিশেষ পদ্ধতিতে অন্যন্য বাস্তব সংখ্যার সাথে অপেক্ষকের সম্পর্ক আবদ্ধ আকারে উপস্থাপন করা হয় তাকে নির্নায়ক বা Determinant বলে।
নির্ণায়কের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্যঃ
(১) কোন নির্নায়কের অনুরুপ কলাম ও সারি সমুহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে মানের কোন পরিবর্তন হয় না।
(২) কোন নির্নায়কের যে কোন দুটি সারি বা কলাম ঠিক একই রকম হলে নির্নায়কের মান শূণ্য হবে।
(৩) কোন নির্নায়কের একটি সারি বা কলামের সব উপাদান শুণ্য হলে নির্ণায়কের মান শুণ্য হয়।
(৪) নির্নায়কের পাশাপাশি দুই কলামের দুটি সারির মধ্যে স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে কিন্তু সংক্ষিপ্ত মান একই থাকে।
(৫) কোন নির্ণায়কের যে কোন একটি সারি বা কলামের সব উপাদানকে একই ধ্রুবক সংখ্যার দ্বারা গুন করলে নির্ণায়কের মানকে ঐ ধ্রুবক সংখ্যা দ্বারা গুন করাকে নির্দেশ করে।
(৬) কোন নির্ণায়কের একটি সারি বা কলামের সব উপাদান একাধিক উপাদানের যোগফলরূপে গঠিত হলে , ঐ নির্ণায়ক টিকে একাধিক নির্ণায়কের যোগফল রুপে প্রকাশ করা যায়।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে, নির্ণায়কের উল্লিখিত বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান রয়েছে এবং এর সাহায্যে গণিতের বিভিন্ন সমস্যা সহজ ভাবে সমাধান করা যায়।
৫. ম্যাট্রিক্সের র্যাংক কি?
উত্তরঃ ভুমিকাঃ সাধারণত একটি ম্যট্রিক্সের একাধিক অনুরাশি থাকে এবং প্রতিটি অনুরাশির একটি নিজস্ব ক্রম বা অর্ডার থাকে এ অনুরাশি গুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ অশুণ্য মানবিশিষ্ট অনুরাশির ক্রমের গানিটিক মানকেই ম্যট্রিক্সের র্যাংক বলা হয়।
ম্যট্রিক্সের র্যাংকঃ কোন ম্যাট্রিক্সের অশুন্য অনুরাশির সর্বোচ্চ ক্রম বা অর্ডারকে উক্ত ম্যট্রিক্সের র্যাংক বলা হয়। অন্য ভাবে বলা যায়, কোন ম্যট্রিক্সের সব চেয়ে বড় অশুণ্য মান বিশিষ্ট অনুরাশির ক্রম যত হবে সেই ম্যাট্রিক্সের রাংক ও তত হবে। ম্যট্রিক্সের র্যাংককে r দ্বারা প্রকাশ করতে হয়।
৬. রূপান্তর ম্যাট্রিক্স ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এর পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ ভুমিকাঃ যখন কতিপয় সংখ্যার দুটি বন্ধনীর মাধ্যমে বিশেষ নিয়মে শ্রেণি বদ্ধ ভাবে সাজানো হয় তখন তাদের কে ম্যট্রিক্স বলে। ম্যট্রিক্স সারিকে কলামে এবং দুটি ম্যট্রিক্সের গুন ফল একটি একক ম্যাট্রিক্সে রুপান্তর করা যায়।
নিম্নে রুপান্তর ও বিপরীত ম্যট্রিক্সের পার্থক্য নিম্নরূপঃ
(১) রূপান্তর ম্যাট্রিক্সঃ একটি ম্যাট্রিক্সের সারিকে কলামে এবং কলামকে সারিতে রুপান্তর করে যে ম্যট্রিক্স গঠন করে তাকে রূপান্তর ম্যট্রিক্স বলে।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ যদি দুটি ম্যট্রিক্সের গুণফল একটি একক ম্যট্রিক্স হয়, তবে ম্যট্রিক্স দুটি পরস্পর পরস্পরের বিপরীত ম্যট্রিক্স বলে।
(২) রুপান্তর ম্যাট্রিক্সঃ কোন রুপান্তর ম্যট্রিক্সের রুপান্তর করলে মূল ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়। অর্থৎ A একটি ম্যট্রিক্স হলে
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ কোন বিপরীত ম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স মূল ম্যাট্রিক্সের সমান। অর্থৎ A একটি ম্যট্রিক্স হলে
(৩) রুপান্তর ম্যাট্রিক্সঃ রুপান্তর ম্যাট্রিক্সকে
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ বিপরীত ম্যাট্রিক্সকে
(৪) রুপান্তর ম্যাট্রিক্সঃ দুটি ম্যাট্রিক্স গুন করলে যে ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তা ঐ দুই ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ক্রমের রুপান্তরের গুণফলের সমান। অর্থাৎ A ও B দুটি ম্যাট্রিক্স হলে
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ দুই ম্যাট্রিক্সের গুণফলের বিপরীত ম্যট্রিক্স তাদের পৃথক পৃথক বিপরীত ম্যট্রিক্সের Reverse order এর গুনফলের সমান। অর্থাৎ A ও B দুটি ম্যাট্রিক্স হলে
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে, যখন ম্যট্রিক্সের সারিকে কলামে এবং দুটি ম্যট্রিক্সের গূণফলের কারণে যে একক ম্যাট্রিক্সের রুপান্তর ঘটে তাদের মধ্যে বিভিন্ন রকম পার্থক্য দেখা যায়।
৭. সহগুনক ম্যাট্রিক্স ও সংযোগ ম্যাট্রিক্স এর মধ্যে পার্থক্য আলোচনা কর?
উত্তরঃ ম্যাট্রিক্স গণিতের একটি অংশ হলেও বর্তমানে ব্যবসায় বাণিজ্যের ক্ষেত্রেও এর প্রয়োগ লক্ষ করা যায়। প্রয়োগের ভিন্নতার কারণে বিভিন্ন ধরণের ম্যাট্রিক্স এর উদ্ভব হয়।
(১) সহগুনক ম্যট্রিক্সঃ কোন ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের সহগুনক দ্বারা যে ম্যাট্রিক্স গঠিত হয় তাকে সহগুনক ম্যট্রিক্স বলে।
সংযোগ ম্যট্রিক্সঃ সহ গুনক ম্যট্রিক্সের সারিকে কলামে এবং কলামকে সারিতে রুপান্তর করলে যে ম্যট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে সংযোগ ম্যট্রিক্স বলে।
(২) সহগুনক ম্যট্রিক্সঃ শুধু মাত্র বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হতে সহগুনক ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।
সংযোগ ম্যট্রিক্সঃ সহগুণক ম্যাট্রিক্স হতে সংযোগ ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।
(৩) সহগুলক ম্যট্রিক্সঃ সহগুণক ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা তুলনা মূলক ভাবে সহজ।
সংযোগ ম্যট্রিক্সঃ সংযোগ ম্যট্রিক্স নির্ণয় করা তুলনা মূলক ভাবে কঠিন।
(৪) সহগুলক ম্যট্রিক্সঃ সহ গুনক ম্যট্রিক্স সংযোগ ম্যট্রিক্সের অপর নির্ভর করে না।
সংযোগ ম্যট্রিক্সঃ সংযোগ ম্যাট্রিক্স সহগুণক ম্যট্রিক্সের অপর নির্ভরশীল।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে, উপাদানের সারি, কলাম এবং সহ গুণকের ভিন্নতার কারণে বিভিন্ন ধরণের ম্যাট্রিক্সের সৃষ্টি হয় এবং এদের মধ্যে বিভিন্ন ধরণের পার্থক্য থাকে।
৮. বর্গাকার ম্যাট্রিক্স এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য আলোচনা কর?
উত্তরঃ যখন কতিপয় সংখ্যাকে দুটি বন্ধনীয় মাধ্যমে বিশেষ নিয়োমে শ্রেণি বদ্ধ ভাবে সাজানো হয় তখন তাকে ম্যাট্রিক্স বলে। ম্যট্রিক্স বিভিন্ন প্রকার হয়ে থাকে । তাই ভিন্ন ভিন্ন ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য দেখা যায়।
নিম্নে বর্গাকার ম্যাট্রিক্স ও বিপরীত ম্যাট্রিক্সের মধ্যে উল্ল্যেখযোগ্য পার্থক্য নিন্মরূপঃ
(১) বর্গাকার ম্যাট্রিক্সঃ যে ম্যট্রিক্সে সারি এবং কলামের সংখ্যা সমান হয় তাকে বর্গাকার ম্যাট্রিক্স বলে।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের গুনফল একক ম্যট্রিক্সের সমান হয় তখন তাদের একটিকে অপরটির বিপরীর ম্যাট্রিক্স বলে।
(২) বর্গাকার ম্যাট্রিক্সঃ কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স কে নিজের দ্বারা গুণ করলে বেশির ভাগ ক্ষেত্রে অভেদ ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় না।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ কোন ম্যাট্রিক্সকে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুন করলে একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।
(৩) বর্গাকার ম্যাট্রিক্সঃ বর্গাকার ম্যাট্রিক্স দুই প্রকার যথাঃ সুসম ম্যাট্রিক্স ও অসুসম ম্যাট্রিক্স।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ বিপরীত ম্যাট্রিক্সের কোন প্রকার ভেদ নেই।
(৪) বর্গাকার ম্যাট্রিক্সঃ সব বপরীত ম্যাট্রিক্সই বর্গাকার।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ সব বর্গাকার ম্যাট্রিক্স বিপরীত ম্যাট্রিক্স নয়।
(৫) বর্গাকার ম্যাট্রিক্সঃ একটি ম্যাট্রিক্স দেখলে সহজেই বুঝা যায় এটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স কি না।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সঃ বিপরীত ম্যাট্রিক্স কি না বুঝতে হলে মান নির্ণয় করে দেখতে হয়।
উপসংহারঃ পরিশেষে বলা যায় যে ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলামের সংখ্যা সমান এবং দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলে যে একক ম্যাট্রিক্স গঠিত হয় তাদের মধ্যে বিভিন্ন ধরণের পার্থক্য রয়েছে।
৯. কর্ণ ম্যাট্রিক্স এবং স্কেলার ম্যাট্রিক্সের মধ্যে পার্থক্য দেখাও।
উত্তরঃ ভুমিকাঃ যখন কতিপয় সংখ্যাকে দুটি বন্ধনির মাধ্যমে বিশেষ নিয়মে শ্রেণীবদ্ধভাবে সাজানো হয় তখন তাকে ম্যাট্রিক্স কর্ণের উপাদান ভিন্ন রকমের হলে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
(১)কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান বিভিন্ন রকম এবং অপর সব উপাদান শুন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপাদান সমুহ একই রকম এবং অন্যান্য উপাদান সমুহ (০) শুন্য তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।
(২) কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ কর্ণ ম্যাট্রিক্সের বেলায় কর্ণের উপাদান সমুহ স্থির রাশি হয়।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ স্কেলার রাশির বেলায় প্রধান কর্ণের উপাদান সমুহ নির্দিষ্ট স্থির রাশি হয়।
(৩) কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ যে কোন কর্ণ ম্যাট্রিক্স স্কেলার নাও হতে পারে।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ স্কেলার ম্যাট্রিক্স অবশ্যই কর্ণ ম্যাট্রিক্স।
(৪) কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ কর্ণের উপাদান অসমজাত হয়।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ কর্ণের উপাদান সমজাত হয়।
(৫) কর্ণ ম্যাট্রিক্সঃ কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে D দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
স্কেলার ম্যাট্রিক্সঃ স্কেলার ম্যাট্রিক্স কে S দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উপসংহারঃ উপর্যুক্ত আলোচনার পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায় যে, ম্যাট্রিক্সের প্রকৃতি কর্ণের উপাদানের ভিন্নতার অপর নির্ভর করে এবং কর্ণের উপাদানের ভিন্নতার কারনে এদের মধ্যে পার্থক্য দেখা দেয়।
[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]
প্রশ্ন ও মতামত জানাতে পারেন আমাদের কে ইমেল : info@banglanewsexpress.com
আমরা আছি নিচের সামাজিক মাধ্যম গুলোতে ও
- hsc/এইচএসসি যুক্তিবিদ্যা ১ম পত্র সংক্ষিপ্ত সাজেশন, ফাইনাল সাজেশন এইচএসসি যুক্তিবিদ্যা ১ম পত্র, hsc logic 1st paper suggestion 100% common guaranty, special short suggestion hsc suggestion logic 1st paper
- প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার সুপার সাজেশন ও উত্তর, প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ বিষয়ভিত্তিক সাজেশন,প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি, প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার সংক্ষিপ্ত সাজেশন,কম সময়ে প্রাথমিকে শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার প্রস্তুতি, প্রাথমিকের শিক্ষক নিয়োগে প্রস্তুতি নেবেন যেভাবে
- বিসিএস লিখিত পরীক্ষার প্রস্তুতি বাংলা ইংরেজি গণিত বাংলাদেশ বিষয়াবলি ও আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী,বিসিএস লিখিত পরীক্ষার প্রস্তুতি কৌশল
