গাণিত সাজেশন
বিষয় কোডঃ ০০৮
নির্ধারিত সময়: ২ ঘণ্টা
পূর্ণমান: ৫০
[সকল প্রশ্নের মান সমান। যে-কোনাে ১০টি প্রশ্নের উত্তর দিন।]
১।
(ক) p-এর মানের ব্যবধি বের করুন যার জন্য x2–2px+p2+5p–6=0 সমীকরণের কোন বাস্তব মূল নেই।
(খ) যদি x2+1×2=7 হয় তবে, x6+1×3 এর মান নির্ণয় করুন।
২। p=xya−1,q=xyb−1,r=xyc−1 হলে:
(ক) (pq)c×(qr)a×(rp)b = কত?
(খ) প্রমাণ করুন logpb−c+logqc−a+logra−b=0
৩।
(ক) দুজন শ্রমিকের মাসিক বেতনের যােগফল ২০,০০০ টাকা। একজন শ্রমিকের বেতন ১০% হ্রাস পেলে যত টাকা হয় অপর শ্রমিকের বেতন ১০% বৃদ্ধি পেলে সমপরিমাণ টাকা হয়। শ্রমিক দুজনের বেতন মাসিক কত টাকা তা নির্ণয় করুন।
(খ) টাকায় ৪টি চকলেট বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি চকলেট বিক্রয় করতে হবে?
৪। একটি কাজ ক ১৪ দিনে এবং খ ২৮ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি আরম্ভ করে। কয়েক দিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে গেল এবং খ বাকী কাজ ৭ দিনে সম্পন্ন করল। সম্পূর্ণ কাজটি কত দিনে সম্পন্ন হয়েছিল।
৫। ছাত্রদের মধ্যে পরিচালিত এক সমীক্ষায় দেখা গেল ৬০% ছাত্র বিচিত্রা, ৫০% ছাত্ৰ সন্ধানী, ৫০% ছাত্র পূর্বাণী, ৩০% ছাত্র বিচিত্রা ও সন্ধানী, ৩০% ছাত্র বিচিত্রা ও পূর্বাণী, ২০% ছাত্র সন্ধানী ও পূর্বাণী এবং ১০% ছাত্র তিনটি পত্রিকাই পড়ে। শতকরা কতজন ছাত্র উক্ত পত্রিকাগুলাের মধ্যে কেবল দুটি পত্রিকা পড়ে তা নির্ণয় করুন।।
৬। গনি সাহেব একজন সরকারি চাকুরিজীবী। ২০১৬ সালের জুলাই মাসে তাঁর মূল বেতন ছিল ২২,০০০ টাকা। তাঁর বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ ১০০০ টাকা।
(ক) উপর্যুক্ত তথ্যের ভিত্তিতে একটি সমান্তর ধারা তৈরি করুন এবং ২০২৫ সালের জুলাই মাসে গনি সাহেবের মাসিক মূল বেতন কত হবে তা নির্ণয় করুন।
(খ) মূল বেতনের ১০% প্রতিমাসে ভবিষ্য তহবিলে কর্তন করলে ২০ বছরে তাঁর মােট কত টাকা ভবিষ্য তহবিলে জমা হবে তা নির্ণয় করুন।
৭। 3 ঢাল বিশিষ্ট একটি রেখা A(-1, 6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং x-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুগামী অপর একটি রেখা x-অক্ষকে C(2, 0) বিন্দুতে ছেদ করে।
(ক) AB এবং AC রেখার সমীকরণ নির্ণয় করুন।
(খ) △ABC-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
৮। O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক PA এবং PB নেয়া হলাে।
(ক) প্রমাণ করুন PA = PB
(খ) প্রমাণ করুন OP সরলরেখা স্পর্শ জ্যা AB-এর লম্ব দ্বিখণ্ডক।
৯। △ABC-এর ∠A-এর সমদ্বিখণ্ডক AP, BC-কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করুন যে BP : PC = BA : AC.
১০। একজন প্রকৌশলীর প্লামবিং কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা ২/৩ এবং ইলেকট্রিক কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা ৫/৯ যদি কমপক্ষে একটি কাজের চুক্তি পাবার সম্ভাব্যতা ৪/৫ হয় তাহলে উভয় কাজের চুক্তি পাওয়ার সম্ভাব্যতা নির্ণয় করুন।
১১।
(ক) ৫ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন পুরুষ এবং ১ জন মহিলা নিয়ে একটি দল কতভাবে বাছাই করা যেতে পারে?
(খ) ১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি একজাতীয় এবং বাকিগুলাে ভিন্ন ভিন্ন। ওই জিনিসগুলাে থেকে প্রতিবার ৫টি নিয়ে কত ভিন্ন ভিন্ন প্রকারে বাছাই করা যায় নির্ণয় করুন।
১২। একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গােড়া থেকে ১৫ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
সবার আগে Google News আপডেট পেতে Follower ক্লিক করুন
কালিন্দি
বিষয় কোড: ০০৮
নির্ধারিত সময়-২ ঘন্টা
পূর্ণমান-৫০
[প্রত্যেক প্রশ্নের মান সমান। যে কোন দশটি প্রশ্নের উত্তর দিন]
১।(ক) x−1x=3–√ হলে, x6+1×6 এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) সমাধান করুন- 1a+b+x=1a+1b+1+1x
২। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন ।(ক) 54×4+27x3a–16x–8a
(খ) 12×2+35x+18
৩। একজন দোকানী একই মূল্যে দুইটি জামা বিক্রয় করেন। একটি জামায় তিনি 10% লাভ করেন এবং অন্যটিতে 10% লােকসান দেন। তার শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত?
৪।(ক) 7sin2θ+3cos2θ=4 হলে, tanθ এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) sinθx=cosθy হলে, প্রমাণ করুন যে, sinθ–cosθ=x−yx2+y2√
৫। তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটি নির্ণয় করুন যার অঙ্কগুলাের যােগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্ক মৌলিক সংখ্যা নির্দেশ করে। আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিন।
৬। সমাধান করুন 4x–3(2x+2)+25=0
৭।(ক) প্রমাণ করুন যে, loga(∏i=1nXi)=∑i=1nlogaxi
(খ)a=xyp−1,b=xyq−1,c=xyr−1 হলে, প্রমাণ করুন যে, aq−r.br−p.cp−q=1
৮। যদি চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক সুদের হার যথাক্রমে r1%,r2% এবং r3% হয় তবে তিন বছর শেষে P টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে?
৯। (1,2) ও (-3, 5) বিন্দুগামী সরল রেখা থেকে (2,0) বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় করুন।
১০। 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 40 জন গণিতে, 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 10 জন উভয় বিষয়ে ফেল করে। একজন পরীক্ষার্থী দৈবভাবে নেওয়া হলাে। তার পক্ষে (ক) গণিতে ফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ; (খ) কেবল এক বিষয়ে পাশ; (গ) বড়জোর এক বিষয়ে পাশ করার সম্ভাবনা কত?
১১।(ক) MATHEMATICS শব্দটির অক্ষরগুলি দ্বারা কত ভাবে বিন্যাস করা সম্ভব? নির্ণয় করুন।
(খ) COMBINATION শব্দটি হতে 4 অক্ষর বিশিষ্ট সম্ভাব্য সমাবেশ নির্ণয় করুন।
১২। ২৮ সেমি ব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তাকার ধাতুর পাত বাঁকিয়ে কোণক আকৃতির কাপ তৈরি করা হলাে। কাপটির গভীরতা ও ধারণ ক্ষমতা নির্ণয় করুন।
সাজেশন সম্পর্কে প্রশ্ন ও মতামত জানাতে পারেন আমাদের কে Google News <>YouTube : Like Page ইমেল : assignment@banglanewsexpress.com
হরিণ
বিষয় কোড: ০০৮
পূর্ণমান-৫০
নির্ধারিত সময়-২ ঘন্টা
[প্রত্যেক প্রশ্নের মান সমান। যে কোন ১০টি প্রশ্নের উত্তর দিন।]
১.
(ক) 2×2−3x=2 হলে x3−1×3 এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) a3+6a2b+11ab2+6b3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।।
২.
(ক) ax=b,by=C এবং cz=a হলে xyz এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) log5400 এর মান কত?
৩. দেওয়া আছে, A(1,4a) এবংB(5,a2−1) বিন্দুগামী রেখার ঢাল = -1, a এর মান নির্ণয় করুন। a এর মানের জন্য চারটি বিন্দু পাওয়া যায়; বিন্দু চারটি P, Q, R, S. PQRS এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। PQRS কি সামান্তরিক না আয়ত ব্যাখ্যা করুন।
৪. ভূ-তলস্থ কোনাে স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। ঐ স্থান থেকে 42 মি. পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হয় । দালানের উচ্চতা নির্ণয় করুন।
৫. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অপেক্ষা ৪ মিটার বেশী। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করুন।
৬.
(ক) চিত্রে বর্ণিত ত্রিভুজ হতে AC এর পরিমাণ কত? tanA+tanC এর মান কত হবে? x ও y এর মান কত?
(খ) $ 0
৭। △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। BC এর সমান্তরাল কোণের রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করুন যে, BDDC=BECF
৮। Y=2p+3q√+2p−3q√2p+3q√−2p−3q√ হলে প্রমাণ করুন যে, 3q(1+1y2)=4py
৯. O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনাে বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করুন যে, $ \angle AEC = \frac{1}{2}(\angle BOD + \angle AOC)।
১০. সমাধান করুন
(ক) 2x+21−x=3
(খ) logx(116)=−2
(গ) (3–√)x+1=(3–√3)2x−1
১১. (ক) A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়কের সেট হলে A∪B এবং A∩B নির্ণয় করুন।
(খ) A={x:xϵN:x3>25 এবং x4১২।দেওয়াআছে, \frac {log (1+x)}{logx} = 2$
(ক) প্রদত্ত সমীকরণটিকে x চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রমাণ করুন।
(খ) প্রাপ্ত সমীকরণটিকে সমাধান করুন এবং দেখান যে, x এর কেবলমাত্র একটি বীজ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।
(গ) প্রমাণ করুন যে, মূলদ্বয়ের প্রতিটির বর্গ তার স্বীয় মান অপেক্ষা 1 বেশী এবং তাদের লেখচিত্র পরস্পর সমান্তরাল।
[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]
গােমতি
বিষয় কোড: ০০৮
নির্ধারিত সময়-২ ঘন্টা
পূর্ণমান-৫০
[দ্রষ্টব্যঃ সকল প্রশ্নের মান সমান। যে কোন ১০টি প্রশ্নের উত্তর দিন।]
১.
(ক) x+1x=3 হলে x4+x3+x2+1×2+1×3+1×4 এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x(x−1)(x−2)(x−3)–24
২. একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য 3 মিটার বাড়ালে এবং প্রস্থ 3 মিটার কমালে ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার কমে যায়। আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার এবং প্রস্থ 3 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 54 বর্গমিটার বাড়ে।
(ক) তথ্যগুলােকে বীজগাণিতিক সমীকরণরূপে প্রকাশ করুন।
(খ) আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করুন।
৩.
(ক) ax2+bx+c=0,(a≠o) সমীকরণটি সমাধান করে x এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) প্রাপ্ত সূত্র প্রয়ােগে নিচের সমীকরণটি সমাধান করুন:
x(x+1)+12x(x+1)=8
৪. একটি দ্রব্যের খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ৩০,০৩০ টাকা। দ্রব্যটি উৎপাদনকারী ৪%, পাইকারী বিক্রেতা ৫% এবং খুচরা বিক্রেতা ১০% লাভে বিক্রি করে।
(ক) পাইকারী বিক্রেতার ক্রয়মূল্য নির্ণয় করুন।
(খ) উৎপাদন খরচ অপেক্ষা খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য শতকরা কত বেশী তা নির্ণয় করুন।
৫.
(ক) একটি খাতা ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হল ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হত। খাতাটির ক্রয়মূল্য কত ?
(খ) বনভােজনে যাওয়ার জন্য ৫৭০০ টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হল। শর্ত থাকল যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। ৫ জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া ৩ টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল ?
৬. কোন পরীক্ষায় 60 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 25 জন বাংলায়, 24 জন ইংরেজীতে এবং 32 জন গণিতে ফেল করেছে। 9 জন কেবলমাত্র বাংলায়, 6 জন কেবলমাত্র ইংরেজীতে, 5 জন ইংরেজী ও গণিতে এবং 3 জন বাংলা ও ইংরেজীতে ফেল করেছে। কতজন পরীক্ষার্থী তিন বিষয়ে ফেল এবং কতজন তিন বিষয়ে পাশ করেছে ?
৭.
(ক) দেখান যে, 1e=2(13!+25!+37!+..∝)
(খ) COURAGE শব্দটির বর্ণগুলাে নিয়ে কতগুলাে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে ?
৮. 500 জন লােকের উপর জরিপ করে দেখা গেল যে, তাদের মধ্যে 50 জন। অবজারভার পড়ে না এবং 25 জন ইত্তেফাক পড়ে না। আবার 10 জন দুটি পত্রিকার কোনটিই পড়ে না। একজন লােক নির্বিচারে নেওয়া হল। লােকটি ইত্তেফাক পড়ে কিন্তু অবজারভার পড়ে না তার সম্ভাবনা কত ?
৯.
(ক) দেখান যে, sec4A–sec2A=tan4A+tan2A
(খ) 64 মিটার লম্বা একটি খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
১০. ABC ত্রিভুজে AB = BC = CA = a এবং AD, BC বাহুর উপর মধ্যমা।
(ক) দেখান যে, ত্রিভূজ ক্ষেত্র ABD = ত্রিভূজ ক্ষেত্র ACD
(খ) প্রমাণ করুন যে, ত্রিভূজ ABC এর ক্ষেত্রফল =3√4a2
১১.
(ক) ∠CAD এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) দেখান যে, BC:AD=1:23–√
১২.একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A (-2,0), B (5,1) এবং C (1,4): (ক) দেখান যে, ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।
(খ) শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক ব্যবহার করে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
১৩। ABC ত্রিভুজের AD, BE, CF তিনটি মধ্যমা। প্রমাণ করুন যে,
(AB+BC+CA) > (AD+BE+CF)
১৪. U = {3,5,6,7,9}, A = {x | x 3 এর গুণিতক এবং x
[ বি:দ্র:এই সাজেশন যে কোন সময় পরিবতনশীল ১০০% কমন পেতে পরিক্ষার আগের রাতে সাইডে চেক করুন এই লিংক সব সময় আপডেট করা হয় ]
আমেরিকা
বিষয় কোড:০০৮।
নির্ধারিত সময় ২ ঘণ্টা
পূর্ণমান-৫০
[দ্রষ্টব্য সকল প্রশ্নের মান সমান। যে কোনাে দশটি প্রশ্নের উত্তর দিন।]
1. একজন শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতি বছর শেষে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ বেতন বৃদ্ধি পান। তার মাসিক বেতন 4 বছর পর 4780 টাকা এবং 7 বছর পর 5140 টাকা হয়। 12 বছর পর তার মাসিক বেতন কত হবে তাহা বের করুন।
২। এক ব্যক্তি 22000 টাকায় একটি ফ্রিজ কিস্তিতে পরিশােধের মাধ্যমে কিনতে রাজী হন । প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 500 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1000 টাকা হয়, তবে কতগুলাে কিস্তিতে তিনি ফ্রিজের দাম পরিশােধ করতে পারবেন এবং সর্বশেষ কিস্তির পরিমাণ কত?
৩। একজন বিনিয়ােগকারী 80,000 টাকার কিছু প্রতি 6 মাস অন্তর 5% হার সুদে এবং অবশিষ্ট বাৎসরিক 12% হারে একটি সেভিংস ব্যাংকে জমা করল। বছর শেষে তিনি 9000 টাকা সুদ পেলেন। তাহলে তিনি 12% হার সুদে কত টাকা বিনিয়ােগ করেন?
৪। 3|2x−1|≥4 অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করুন এবং সমাধান সেটটিকে সংখ্যারেখায় প্রদর্শন করুন।
৫। (ক) y=2–√+3–√ হলে (y2+1y2)(y3−1y3) এর মান নির্ণয় করুন।
(খ) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন x4−4x+3
৬। যদি logaq−r=logbr−p=logcp−qহয়, তাহলে প্রমাণ করুন যে,aq+r.br+p.cp+q=1
৭। ax2+bx+c=0(a≠0) সমীকরণটির সমাধান করুন এবং ইহার মাধ্যমে x2+7x−13=0 সমীকরণটির সমাধান করুন।
৮। কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনাে বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করুন যে, ∠AOD+∠BOC= দুই সমকোণ।
৯। একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা 120° কোণে চলে গেছে। দুইজন লােক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় 15 কিলােমিটার এবং ঘণ্টায় 10 কিলােমিটার বেগে বিপরীত দিকে রওয়না হলাে। 2 ঘণ্টা পরে তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করুন।
১০। 2x+y–3=0,3x+2y–1=0 এবং 2x+3y+4=0 এই তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
১১। সেটের উপাদানসংখ্যার ক্ষেত্রে n(U)=80,n(A)=40,n(B)=50 এবং n(A∩B)=20 হলে, সংশ্লিষ্ট সূত্রসমূহ উল্লেখ করে n(A∪B),n(A∖B),n(A′),n(A′∩B′) এবং n(A⊕B) -এর মান নির্ণয় করুন।
১২। একজন ছাত্র একটি পরীক্ষায় A, B, C এবং D চারটি বিষয়ে অংশগ্রহণ করেন। সে তার পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে এ বিষয়ে , B বিষয়ে , C বিষয়ে এবং D বিষয়ে । যােগ্যতা প্রদর্শনে তাকে অবশ্যই এ বিষয়ে এবং কমপক্ষে অন্য দুটি বিষয়ে পাস করতে হবে। তার যােগ্যতার সম্ভাবনা বের করুন।
সবার আগে Google News আপডেট পেতে Follower ক্লিক করুন
ক. 2.8of2.2˙7˙1.3˙6˙+4.4˙−2.83˙1.3˙+2.629˙of8.2
খ. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে ৪৬৪১ এবং ২১। একটি সংখ্যা ২০০ ও ৩০০ এর মধ্যে অবস্থিত হলে অপর সংখ্যাটি করত?
সাজেশন সম্পর্কে প্রশ্ন ও মতামত জানাতে পারেন আমাদের কে Google News <>YouTube : Like Page ইমেল : assignment@banglanewsexpress.com
১) গানিতিক সমস্যা সমাধানে অ্যান নিউম্যানের ৫টি ধাপের বর্ননা দিন।
২) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নরুপভাবে কয়েকটি যোগের সমস্যা সমাধান করলো- ক. ২৯+১২=৩১১
খ. ৭৫+২৯=৯১৪ গ. ৮৬+৫৮=১৩১৪ উল্লেখিত সমাধানে শিক্ষার্থী কী ভুল করেছে? কেন এই ভুল করেছে? এক্ষেত্রে আপনি কিভাবে শিক্ষার্থীকে শিখনে সহায়তা করবেন?
৩) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্তভাবে সমাধান করলঃ ৮৮ ৮৮ ৭৮ +১৯ + ১৯ +২৩ –– –– –– ৭১৬ ৯১৭ ৯১১ উল্লেখিত সমাধানে কোন ধরনের ভুল আছে? এর সমাধানে কিভাবে শিক্ষার্থীদেরকে সহায়তা করবেন?
৪) ৭৮ +৪৬ –– ১১৪ ধরা যাক, দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী উপরোক্ত ভুলটি করেছে? আপনি শিক্ষার্থীকে কী নির্দেশনা দেবেন? অথবা, হাতে রেখে যোগ শিখানোর প্রক্রিয়া উদাহরণসহ লিখুন।
৫) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্ত ভুলগুলো করেছেঃ ৭৭ ৮৬ +৪৫ + ৫৮ – –– –– ১১২ ১৩৪ শিক্ষার্থী কেন এই ভুল করেছেন লিখুন। ভুল সংশোধনে আপনি শিক্ষার্থীদের কি নির্দেশনা দিবেন?
৬) ধরা যাক, প্রথম শ্রেণির শিক্ষার্থী নিচের ভুলটি করেছে। ৩-৩=৩ আপনি কীভাবে এ উত্তরটি মুল্যায়ন করবেন?এবং শিক্ষার্থীকে আপনি কী নির্দেশনা দেবেন?
১) গানিতিক সমস্যা সমাধানে অ্যান নিউম্যানের ৫টি ধাপের বর্ননা দিন।
অস্ট্রেলীয় বিদূষী শিক্ষাবিদ অ্যান নিউম্যান (Anne New man) গাণিতিক সমস্যা সমাধানে কোথায় কোথায় শিক্ষার্থীরা ভুল করে থাকে, তা নির্ণয় করার জন্য পাঁচটি গুরত্বপূর্ণ এবং ত্বরিত সিদ্ধান্ত নেয়ার পরামর্শ প্রদান করেন। অ্যান নিউম্যান নিম্নোক্ত পাঁচটি ধাপ সম্পর্কে বলেছেন, যেগুলো অনসুরণ করে গাণিতিক সমস্যা সফলভাবে সমাধান করা যায়।
১) প্রশ্ন পড়া ( Reading or decoding):
প্রশ্ন পড়ার সময় নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর প্রতি নজর দিন। ক) যাচাই করুন, শিক্ষার্থীরা লিখিত প্রশ্নটি পড়তে পারে কি না। খ) একাধিকবার লিখিত প্রশ্নটি পড়তে দিন। গ)গুরুত্বপূর্ণ তথ্যগুলো বৃত্তায়িত বা দাগ দিতে বলুন। ঘ) যদি কোনো গাণিতিক সমস্যা বা প্রশ্নের শব্দের অর্থ না জানা থাকে তাহলে তা রেখে যাবেন অথবা এর প্রতিশব্দ বলতে দিন অথবা বলুন। ঙ) খেয়াল করতে হবে, প্রশ্নে কী বের করতে বলা হয়েছে। চ) লক্ষ্য রাখতে হবে, শ্রেণিকক্ষে সমস্যাটি পড়ার চেয়ে সমস্যা সমাধানে অধিক আগ্রহী এরূপ শিক্ষার্থী থাকতে পারে। ছ) এক্ষেত্রে দলীয় পঠন বিশেষ ভূমিকা পালন করে থাকে।
২) প্রশ্ন পড়ে সমস্যা বুঝতে পারা (Mathematical Word Problem):
ক) দেখুন , শিক্ষার্থীরা প্রশ্নটিতে যে যে শর্ত দেওয়া আছে এবং তাদের করণীয় কী তা বুঝতে পারে কি না। খ) সমস্যাটি সমাধান করতে হলে কী ধরনের প্রশ্ন করা যেতে পারে। গ) সমস্যাটি অনুধাবন করতে হলে পাঠকের (কগনিটিভ) ও (মেটাকগনিটিভ) কলাকৌশল অনুসরণ করা প্রয়োজন। এ কলাকৌশলগুলো মধ্যে নিবিড় সম্পর্ক রয়েছে। এ ০৬টি কলাকৌশল হলো ক) সম্পর্ক/ যোগসূত্র স্থাপন (Making connections), খ) অনুমান করা (Predicting), গ) প্রশ্ন করা (Questioning), ঘ) পরিবীক্ষণ করা (Monitoring), ঙ) চিত্র প্রদর্শন (Visualising), চ) সার-সংক্ষেপকরণ (Summarising)। উক্ত ৬টি কলাকৌশল প্রশ্ন বুঝার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হলে শিক্ষার্থীরা দ্রুত সমস্যা সমাধান সম্পর্কে একটি পরিস্কার ধারণা পাবে।
৩) প্রশ্নকে গাণিতিক রূপ দেয়া (Transformation; selecting an appropriate strategy):
ক) যাচাই করুন, শিক্ষার্থীরা প্রশ্নে দেয়া তথ্যসমূহের ওপর ভিত্তি করে এটিকে গাণিতিক ভাষায় রূপান্তর করতে পারে কি না। খ) এরূপ ক্ষেত্রে একটি ডায়াগ্রাম বা চিত্র শব্দ সম্বলিত গাণিতিক শব্দ/সমস্যাকে গাণিতিক সমস্যা সমাধান প্রক্রিয়ায়Numerical Operation) নিয়ে যেতে সহায়তা করে। গ) এক্ষেত্রে মাইন্ডম্যাপ বা সংশ্লিষ্ট চার্ট গাণিতিক ভাষাকে বুঝতে সহায়তা করবে। ঘ) এক্ষেত্রে যে যে কৌশলগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে, তা হলোঃ- – একটি প্রাসঙ্গিক চিত্র আঁকুন। – অনুমান করুন ও মিলিয়ে দেখুন। – সমস্যা সমাধানের পথে অগ্রসর হউন। – একটি গাণিতিক বাক্য লিখুন। – যদি কোনো প্যাটার্ণ খুঁজে পাওয়া যায় তা বের করুন। – যে পথে/ প্রক্রিয়ায় অগ্রসর হয়েছেন তা পূর্ব থেকে মিলিয়ে নিন।
৪) গাণিতিক প্রক্রিয়ার প্রয়োগ (Process skills):
গাণিতিক প্রক্রিয়া প্রয়োগের সময় নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর প্রতি নজর দেওয়া প্রয়োজন। ক) যাচাই করুন, শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে গাণিতিক দক্ষতা ব্যবহার করে হিসাব-নিকাশ, উপস্থাপন ইত্যাদি করতে পারে কি না। খ) তুমি কীভাবে এ সমস্যাটি সমাধান করবে, বল। গ) এক্ষেত্রে শিক্ষার্থী ভুল উত্তর করতে পারে। অথবা শিক্ষার্থী পূর্ণ সমাধান প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন না-ও করতে পারে।
৫. উত্তর লেখা (Encoding):
এ পর্যায়ে নিম্নলিখিত বিষয়গুলোর প্রতি নজর দেওয়া দরকার। ক) দেখুন, শিক্ষার্থীরা সমস্যায় যা চাওয়া হয়েছে, সেটির পরিপ্রেক্ষিতে সঠিকভাবে উত্তর লিখতে পারে কি না। ২) অনেক সময় শিক্ষার্থী উত্তরে ‘একক’ লিখতে ভুল করে। ৩)গাণিতিক সমস্যায় যে সকল প্রশ্নের উত্তর বের করতে বলা হয়েছে তা বের করতে ভুলে যাওয়া। ৪) এক্ষেত্রে শিক্ষার্থীদের পুনরায় সমস্যাটি পড়ে প্রশ্ন অনুযায়ী কী কী উত্তর বের করা হয়েছে তথা প্রশ্নের সাথে উত্তরগুলো মিলিয়ে নিতে বলা যেতে পারে।
২) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নরুপভাবে কয়েকটি যোগের সমস্যা সমাধান করলো- ক. ২৯+১২=৩১১ খ. ৭৫+২৯=৯১৪ গ. ৮৬+৫৮=১৩১৪ উল্লেখিত সমাধানে শিক্ষার্থী কী ভুল করেছে? কেন এই ভুল করেছে?এক্ষেত্রে আপনি কিভাবে শিক্ষার্থীকে শিখনে সহায়তা করবেন?
১) যোগ করার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর ভুল হয়েছে। ‘ক’ এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী এককের ঘর যোগ করার পর হাতে থাকা ১ দশকের ঘরে যোগ না করে, যোগফল বসিয়ে দিয়েছে। ‘খ’ এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর একই ভুল করেছে। ‘গ’ এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর একই ভুল করেছে। ২) সুতরাং, আমি যখন এ ধরনের ভুল পাবো,তখন প্রথমেই দেখবো কী কারনে শিক্ষর্থী এইভাবে গননা করেছে। যদি শিক্ষার্থী এই ধরনের গননা বা হিসাব নিকাশের বিষয়টি ব্যাখ্যা করতে পারে তাহলে কোন প্রকার বিঘ্ন না ঘটিয়ে মনোযোগ ভাবে তার ব্যাখ্যা শুনবো। এরপর আমি সম্ভবত জানতে পারব যে শিক্ষার্থী তার গণনা বা হিসাব-নিকাশে ১০ বা ১ কোথায় বসবে তা বুঝতে পারে নি, যদি তাই হয়ে থাকে তাহলে উত্তম নির্দেশনা হলো যোগের প্রক্রিয়াটি নিম্নোক্ত ভাবে সম্পন্ন করা।
গ. ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৮৬ ১ + ৫৮ ৮৬ —— + ৫৮ ১৪ —— ১৩০ ১৪৪ —— ১৪৪ ধাপ:১-এ, এককের ঘরে যোগ করি, ৮+৬=১৪, এবং নিচে ১৪ লিখি। এরপর ৮০+৫০=১৩০ যোগটি করি এবং নিচে ১৩০ লিখি। পরিশেষে ১৪ এবং ১৩০ যোগ করি। তাহলে সটিক উত্তরটি হবে ১৪৪। বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থীরা ৬+৮=১৪ এর দশকের ১ দশকের ঘরে ৮ এর উপর লিখে হিসাব- নিকেশ করবে। এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিত হবে না তা হলো, ১) শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ না যাওয়া।
২) অধৈর্য হয়ে শিক্ষার্থীকে “কেন বুঝতে পারছ না” বা “কেন আবার ভুল করছে?” ইত্যাদি বলা। বি. দ্রঃ- ক ও খ একই নিয়মে অনুসরণ করতে হবে।
৩) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্তভাবে সমাধান করলঃ ক) ৮৮ খ) ৮৮ গ) ৭৮ +১৯ +১৯ +২৩ — –– –– ৭১৬ ৯১৭ ৯১১ উল্লেখিত সমাধানে কোন ধরনের ভুল আছে? এর সমাধানে কিভাবে শিক্ষার্থীদেরকে সহায়তা করবেন? লিখিত সমাধানে কোন ধরনের ভুল আছে? এর সমাধানে কিভাবে শিক্ষার্থীদেরকে সহায়তা করবেন?
সমাধানঃ যোগ করার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীর ভূল হয়েছে। ক) এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী (৮+৯) এ ভুল করেছে এবং পরবর্তীতে দশকের ঘরের সংখ্যা যোগ করতে ভুল করছে।
খ) এর ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী এককের ঘরের সংখ্যা যোগ করার পর হাতে থাকা ১ দশকের ঘরের সঙ্গে যোগ না করে যোগফলে বসিয়ে দিয়েছে।
গ) এট ক্ষেত্রেও শিক্ষার্থী এককের ঘরের সংখ্যা যোগ করার পর হতে থাকা ১ দশকের ঘরের সঙ্গে যোগ না করে যোগফলে বসিয়ে দিয়েছে। সুতরাং আমি যখন এ ধরনের ভুল পাবাে তখন প্রথমেই দেখবাে কী কারণে শিক্ষার্থী এভাবে গণনা করেছে। যদি শিক্ষার্থী এ ধরনের গণনা বা হিসাব নিকাশের বিষয়টি ব্যাখ্যা করতে পারে তাহলে কোনরকম বিঘ্ন না ঘটিয়ে মনযোগ সহকারে তার ব্যাখ্যা শুনবো। এরপর আমি সম্ভবত জানতে পারবো যে শিক্ষার্থীটি তার গণনা বা হিসাব-নিকাশে ১০ বা ১ কোথায় বসাবে তা বুঝতে পারে নি, যদি তা-ই হয়ে থাকে তাহলে সবচেয়ে উত্তম নির্দেশনা হলো যোগের প্রক্রিয়াটিকে নিম্নোক্তভাবে সম্পন্ন করা ।
ক) ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৮৮ ১ + ১৯ ৮৮ —— + ১৯ ১৭ —— ৯০ ১০৭ —— ১০৭ ধাপ ১ এ, এককের ঘরে যোগটি কৰি, ৮+ ৯ = ১৭, এবং নিচে ১৭ লিখি। এরপর ৮০+১০ = ৯০ যোগটি করি এবং ৯০ লিখি। পরিশেষে ১৭ এবং ৯০ যে করি তাহলে সঠিক উত্তরটি হবে ১০৭। বরাবর অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থীরা ১৭ এবং এর “১”কে দশকের ৮ এর উপরে লিখে হিসাব-নিকাশ করবে। এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিৎ হবে না তা হলো:
ক. শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ যাওয়া। খ. অধৈয্য হয়ে শিক্ষার্থীকে “কেন বুঝতে পারছে না?” বা “কেন আবার ভুল করছ?”ইত্যাদি বলা। বি.দ্রঃ- (খ) ও (গ) এর সমাধান একই নিয়ম অনুসরণ করে করতে হবে।
৪) ৭৮ +৪৬ –––– ১১৪ ধরা যাক, দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী উপরোক্ত ভুলটি করেছে? আপনি শিক্ষার্থীকে কী নির্দেশনা দেবেন? অথবা, হাতে রেখে যোগ শিখানোর প্রক্রিয়া উদাহরণসহ লিখুন।
সমাধানঃ- যোগ করার ক্ষেত্রে শিক্ষার্থী ভুল হয়েছে। শিক্ষার্থী এককের ঘরের সংখ্যা যোগ করার পর দশকের ঘরের হাতের নিতে ভুলে গেছে। সবচেয়ে উত্তম নির্দেশনা হলো যোগের প্রক্রিয়াটিকে নিম্নোক্ত ভাবে সম্পন্ন করা। ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৭৮ ১ + ৪৬ ৭৮ —— + ৪৬ ১৪ —— ১১০ ১২৪ —— ১২৪ ধাপ ১ এ, এককের ঘরের যোগটি করি, ৮ + ৬ = ১৪, এবং নিচে ১৪ লিখি এরপর ৭০+৪০ = ১১০ যোগটি করি এবং নিচে ১১০ লিখি। পরিশেষে ১৪ এবং ১১০ যোগ করি তাহলে সঠিক উত্তরটি হবে ১২৪। বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থী ১৪ এর “১”কে দশকের ৭ এর উপরে লিখে হিসাব-নিকাশ করবে। এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিত হবে না তা হলো:
১) শিক্ষার্থীরা সঠিকতাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ না যাওয়া। ২) অধৈর্য হয়ে শিক্ষার্থীকে” কেন বু্তে পারছ না?” বা “কেন আবার ভুল করছ?” ইত্যাদি বলা।
৫) দ্বিতীয় শ্রেনির একজন শিক্ষার্থী নিম্নোক্ত ভুলগুলো করেছেঃ ক) ৭৭ খ) ৮৬ +৪৫ + ৫৮ –– –– ১১২ ১৩৪ শিক্ষার্থী কেন এই ভুল করেছেন লিখুন। ভুল সংশোধনে আপনি শিক্ষার্থীদের কি নির্দেশনা দিবেন?
সমাধানঃ ১) শিক্ষার্থীরা যোগ করার ক্ষেত্রে ভুল করেছে। (ক) ও (খ) উভয় সমস্যাটির ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীরা দশকে ঘরে হরে ১ অর্থাৎ ১ দশক নিতে ভুলে গেছে। ২) ভুল সংশােধনে সবচেয়ে উত্তম নির্দেশনা হলো পুরো যোগের প্রক্রিয়াটিকে নিম্নোক্তভাবে সম্পন্ন করা।
ধাপঃ -১ ধাপঃ -২ ৭৭ ১ + ৪৫ ৭৭ —— + ৪৫ ১২ ——— ১১০ ১২২ —— ১২২ ধাপ ১ এ, এককের ঘরে যোগটি করি, ৭ + ৫ = ১২, এবং নিচে ১২ লিখি। এরপর ৭০ + ৪০ = ১১০ যোগ করিএবং নিচে ১১০ লিখি। পরিশেষে ১২ এবং ১১০ যোগ করি। তাহলে সঠিক উত্তরটি হবে ১২২।
বারবার অনুশীলনের মাধ্যমে এ প্রক্রিয়াটির সাথে সুপরিচিত হওয়ার পর ধাপ ২ এ যেতে হবে, যেখানে শিক্ষার্থীয়া ১৪ এর “১” কে দশকের ৭ এর উপরে লিখে হিসাব-নিকাশ করবে।
এ ধাপগুলোর ক্রমে আমার যা করা উচিৎ হবে তা হলঃ- ১) শিক্ষার্থীরা সঠিকভাবে ধাপ ১ এর যোগ না করা পর্যন্ত ধাপ ২ এ না যাওয়া। ২) অধৈর্য হয়ে শিক্ষার্থীকে “কেন বুঝতে পারছ না?” বা “কেন আবার ভুল করছ?” ইত্যাদি বলা। বি.দ্রঃ- (খ) এর ক্ষেত্রে (ক) এর পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে।
৬) ধরা যাক, প্রথম শ্রেণির শিক্ষার্থী নিচের ভুলটি করেছে। ৩-৩=৩ আপনি কীভাবে এ উত্তরটি মুল্যায়ন করবেন?এবং শিক্ষার্থীকে আপনি কী নির্দেশনা দেবেন?
সমাধানঃ- প্রথম শ্রেণির শিক্ষার্থীরা নিজের ধারণা প্রকাশ করতে প্রায়শই অসুবিধার সম্মুখীন হয়। তাই শিক্ষককেই চিন্তা করতে হবে কীভাবে এটির প্রক্রিয়া শিক্ষার্থী বুঝতে পারে। যে সব ছাত্র-ছাত্রী এ ধরনের ভুল করে তারা প্রায়শই একই ভুল করে থাকে।প্রথমত, আমাকে দেখতে হবে শিক্ষার্থীটি একই ধরনের ভুল অন্য সংখ্যার বিয়োগের ক্ষেত্রেও করে কি না, যেমনঃ ৫-৫ = ৫, ৭ – ৭ =৭ এক্ষেত্রে আমি শিক্ষার্থীটিকে ৩টি মার্বেল বা কাঠি দিয়ে ৩ – ৩ কত হয় তা দেখাতে বলতে পারি। সে হয়তো টেবিলে মার্বলগুলো রেখে এগুলোকে সরিয়ে দিয়ে ৩ – ৩ কত হয় তা দেখাতে পারে। এরপরও শিক্ষার্থীটি উত্তর ৩ বলতে পারে, যেহে মার্বলগুলো তার হতেই রয়ে গেছে বা এ পৃথিবীতেই আছে। এ উত্তরটি অবশাই গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে ভুল, কিন্তু তার জন্য যথেষ্ট যুক্তিসম্পন্ন। এ শিক্ষার্থীটির জন্য “কোন সংখ্যাটি থেকে কোন সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে” এবং “কোন সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হবে” এ দুটির মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে সচেতন করাই হবে সবচেয়ে জরুরি এবং এতদসংক্রান্ত যথাযথ নির্দেশনা প্রদান করা। একটি কার্যকর উপায় হলো, একটি বাক্সে ৩টি মার্বেল রাখি এবং আবার সবকটি মার্বেল উঠিয়ে নেই এবং জিজ্ঞেস করি যে বাক্সে আর কয়টি মার্বেল রয়েছে? এ অনুশীলনটি বারবার করালে শিক্ষার্থীর পূর্বেকার ধারণা ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হবে।
[ বি:দ্র: নমুনা উত্তর দাতা: রাকিব হোসেন সজল ©সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত (বাংলা নিউজ এক্সপ্রেস)]
গাণিতিক ধাঁধা: () + () + () = 30 ব্যবহার করে 1,3,5,7,9,11,13,15 কত হবে?উত্তর দিনঅনুসরণ·12অনুরোধ
১…এখানে মজার একটা সংখ্যা আছে… 9.. যাকে কিনা উল্টে ফেললেই তা জোড় সংখ্যা 6 হয়ে যায়…ব্যাস!..হয়েই ত গেলো…কারণ ৩ টে বিজোড়ের যোগফল জোড় না হলেও দুটো বিজোড় আর একটি জোড়ের যোগফল ত জোড়!..
মানে এখন আপনি করতেই পারেন..6+15+9=30
6+11+13=30
……
2. এবার আরেকটু মজার ব্যাপার বলি.. এখানে ৩ একটি সংখ্যা আছে…যার ফ্যাক্টরিয়াল কিনা ৩০ এর মধ্যে(৫ না বলার কারণ এর ফ্যাক্টরিয়াল ৩০ এর চেয়ে বড়)… অর্থাৎ ৩!=৬…এবার আগের মতই লিখে ফেলুন
(৩!)+(১১)+(১৩)=৩০
….
৩. আরেকভাবে ত করতেই পারুন…সংখ্যাগুলোতে অপারেটর প্রয়োগ করে…অর্থাৎ…দুটো বিজোড় সংখ্যা যোগ বিয়োগ করলে একটি জোড় সংখ্যা পাবেন…সেভাবেই..
যেমন..(১১-১)=১০,(১৫-১)=১৪…এভাবে অনেকভাবেই করতে পারেন…তারপর
((১১-১))+১৫+৫=৩০…((১৫-১))+৯+৭=৩০…এভাবে!
৪.আরো অনেকগুলো উপায় আছে…
আমি সাজেস্ট করবো..কোরা ইংরেজী থেকে উত্তরটুকু পড়লে ভালো হয়..
আচ্ছা একটু বলে নিই..এই উপায়গুলোকে মূলত গাণিতিকভাবে ভুল বিষয় বলা হয়..অর্থাৎ ট্রিক নামক বিষয়টিকে!..এগুলো গাণিতিকভাবে ভুল হলেও এগুলো এপ্লাই করে আপনি অনেক কিছুই করতে পারেন!…
এই গাণিতিক সমস্যার সমাধান কী? Log (-1+i) ≠ 2Log (-1+i)উত্তর দিনঅনুসরণ·2অনুরোধ
ধরে নেই z=i−1z=i−1
i−1i−1 এর পরিবর্তে zz বসালে পরিষ্কার ভাবে দেখা যায় LHS আর RHS এক না।
logz≠2logzlogz≠2logz
ব্যাকটি সঠিক কিন্তু,
এইটা কোনো সমীকরণ না যে এর সমাধান থাকবে!
[ বি:দ্র:এই সাজেশন যে কোন সময় পরিবতনশীল ১০০% কমন পেতে পরিক্ষার আগের রাতে সাইডে চেক করুন এই লিংক সব সময় আপডেট করা হয় ]
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে কোনও 5 টি সংখ্যা যোগ করে (একটি সংখ্যা দু’বার ব্যবহার না করেই) কিভাবে 50 বানানো যায়?উত্তর দিনঅনুসরণ·10অনুরোধ
উল্লিখিত সংখ্যা গুলোর মধ্যে যেকোনো 5টি সংখ্যা যোগ করে কখনো 50 বানানো সম্ভব নয়।
কারণ, 1,3,5,7……19 এগুলো সব বেজোড় সংখ্যা। জোড় সংখ্যক বেজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় হয়। যেমন, 2টি,4টি,6টি…. ইত্যাদি সংখ্যক বেজোড় সংখ্যার যোগফল জোড় হয়। কিন্তু বেজোড় সংখ্যক বেজোড় সংখ্যার যোগফল জোড় হয় না। কারণ, জোড় + বেজোড় = বেজোড়। তাই 3টি,5টি,7টি…. বেজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় বেজোড় হবে।
একারণেই উল্লিখিত বেজোড় সংখ্যা গুলো 5 বার যোগ করে যোগফল সবসময় বেজোড় হবে, কখনোই 50 হবে না। এটি হিসাব না করেই বলে দেয়া যায়
সবার আগে সাজেশন আপডেট পেতে Follower ক্লিক করুন
a^3 + b^3 = 8 এবং a^2 + b^2 = 4 হলে, a+b =কত?উত্তর দিনঅনুসরণ·1অনুরোধ
সবার আগে সাজেশন আপডেট পেতে Follower ক্লিক করুন
সবার আগে Google News আপডেট পেতে Follower ক্লিক করুন
- বাংলাদেশের সংবিধানের প্রনয়ণের প্রক্রিয়া শুরু হয় কবে? উত্তর-২৩ মার্চ, ১৯৭২,বাংলাদেশের সংবিধান কবে উত্থাপিত হয়? উত্তর- ১২ অক্টোবর, ১৯৭২,গনপরিষদে কবে সংবিধান গৃহীত হয়? উত্তর-০৪ নভেম্বর,১৯৭২,কোন তারিখে বাংলাদেশের সংবিধান বলবৎ হয়? উত্তর-১৬ ডিসেম্বর, ১৯৭২
- প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার সুপার সাজেশন ও উত্তর, প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ বিষয়ভিত্তিক সাজেশন,প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি, প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার সংক্ষিপ্ত সাজেশন,কম সময়ে প্রাথমিকে শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার প্রস্তুতি, প্রাথমিকের শিক্ষক নিয়োগে প্রস্তুতি নেবেন যেভাবে
- ঢাকা দক্ষিণ সিটি করপোরেশনের লিখিত পরীক্ষার সাজেশন,ঢাকা দক্ষিণ সিটি করপোরেশনের লিখিত পরীক্ষার প্রস্তুতি, ঢাকা দক্ষিণ সিটি করপোরেশনের লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
