প্রমাণ কর যে √5 অমূলদ সংখ্যা,প্রমাণ কর যে √7 অমূলদ সংখ্যা,প্রমাণ কর যে √10 অমূলদ সংখ্যা, 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর

প্রশ্ন সমাধান: প্রমাণ কর যে √5 অমূলদ সংখ্যা,প্রমাণ কর যে √7 অমূলদ সংখ্যা,প্রমাণ কর যে √10 অমূলদ সংখ্যা, 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর

প্রমাণ কর যে √5 অমূলদ সংখ্যা

সমাধান : (ক) এখানে, 2² = 4; 3² = 9 এবং (√5)² = 5

সুতরাং √5, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।

অতএব, √5 পূর্ণসংখ্যা নয়। অর্থাৎ √5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।

মনে করি, √5 মূলদ সংখ্যা।

তাহলে ধরি, √5 = p÷q; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1.

বা, 5 = p²÷q² ; বর্গ করে

বা, 5q = p²÷q; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।

এখানে, 5q স্পষ্টত পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

সুতরাং, 5q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ p²÷q

∴ √5 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,

অর্থাৎ, √5 ≠ p÷q

অতএব, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

প্রমাণ কর যে √7 অমূলদ সংখ্যা

(খ) এখানে, 4 < 7 < 9

বা, √4 <√7 < √9

বা, 2 <√7 < 3

∴ √7, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা

অতএব, √7 পূর্ণসংখ্যা নয়, অর্থাৎ √7 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা

মনে করি, √7 মূলদ সংখ্যা।

তাহলে ধরি, √7 = p÷q; যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1

বা, 7 = p²÷q²; উভয় পক্ষকে বর্গ করে

বা, 7q = p²÷q ; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।

এখানে, 7q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

∴ 7q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 7q ≠ p²÷q

∴ √7 এর মান p÷q আকারে কোনো সংখ্যা হতে পারে না।

অর্থাৎ, √7 ≠ p÷q

অতএব, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)

প্রমাণ কর যে √10 অমূলদ সংখ্যা

(গ) এখানে, 9 < 10 < 16

বা, √9 < √10 <√16

বা, 3 < √10 < 4

∴ √10, 3 অপেক্ষা বড় কিন্তু 4 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।

অতএব, √10 পূর্ণ সংখ্যা নয়, অর্থাৎ √10 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা

মনে করি, √10 মূলদ সংখ্যা।

তাহলে ধরি, √10 = p÷q; যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1

বা, 10 = p²÷q²; উভয় পক্ষকে বর্গ করে

বা, 10q = p²÷q; উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।

এখানে, 10q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

∴ 10q এবং p²÷q সমান হতে পারে না। অর্থাৎ 10q ≠ p²÷q

∴ √10 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,

অর্থাৎ √10 ≠ p÷q

অতএব, √10 একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)

আরো ও সাজেশন:-

0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, একটি সংখ্যা, a = 0.30300300030…..

এবং অপর সংখ্যা, b = 0.2020020002……

স্পষ্টত : a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়

অর্থাৎ, 0.31 > 0.3030030003…….. > 0.12

এবং 0.31 > 0.2020020002…… > 0.12

আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা, যা 0.31 এবং 0.12 এর মাঝে অবস্থিত।

নির্ণেয় সংখ্যা, 0.3030030003…………

এবং 0.2020020002………….

[ বি. দ্র. : এরূপ অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করা যায়।]

রচনা ,প্রবন্ধ	উত্তর লিংক	ভাবসম্প্রসারণ	উত্তর লিংক
আবেদন পত্র ও Application	উত্তর লিংক	অনুচ্ছেদ রচনা	উত্তর লিংক
চিঠি ও Letter	উত্তর লিংক	প্রতিবেদন	উত্তর লিংক
ইমেল ও Email	উত্তর লিংক	সারাংশ ও সারমর্ম	উত্তর লিংক

Paragraph	উত্তর লিংক	Composition	উত্তর লিংক
CV	উত্তর লিংক	Seen, Unseen	উত্তর লিংক
Essay	উত্তর লিংক	Completing Story	উত্তর লিংক
Dialog/সংলাপ	উত্তর লিংক	Short Stories/Poems/খুদেগল্প	উত্তর লিংক
অনুবাদ	উত্তর লিংক	Sentence Writing	উত্তর লিংক